§ 16. Порядок бесконечно малых

a. Если — бесконечно малая и - другая бесконечно малая, причем

где С — постоянная, не равная нулю, то говорим, что — бесконечно малая порядка, одинакового с а.

b. Если

то говорим, что — бесконечно малая порядка, высшего чем а.

c. Если, наконец,

то говорим, что — бесконечно малая порядка, низшего чем а,

d. Очень часто при одновременном рассмотрении не скольких бесконечно малых одну из них, а, принимают за основную, тогда называют бесконечно малой величиной порядка , как и всякую бесконечно малую величину порядка, одинакового с для которой

Нетрудно сообразить, что большему отвечает и высший порядок малости (в смысле пункта «b»). В самом деле, при имеем

ввиду того, что

Для лучшего уяснения понятие порядка бесконечно малой заметим вообще, что если — бесконечно малая порядка выше а, то из

следует

где — бесконечно малая. Отсюда

Значит, является бесконечно малой частью от бесконечно малой а, так как умножить а на — значит взять от нее такую же часть, какую составляет от 1, т. е. бесконечно малую часть.

И наоборот, если

т. е. есть бесконечно малая часть бесконечно малой а, то

т. е. — бесконечно малая порядка, высшего чем а.

то бесконечно малые величины называются эквивалентными.

Пример 1. Ввиду

мы можем сказать, что синуо бесконечно малого угла эквивалент этому углу.

Пример 2. При условиях пункта «а» § 11 ввиду

мы можем сказать, что хорда эквивалентна стягивающей ее бесконечно малой дуге.

g. Нетрудно видеть, что сумма

нескольких бесконечно малых, расположенных по возрастанию их порядка, эквивалентна а.

Действительно,

потому что — бесконечно малые порядка, высшего чем а.

Например, если а — бесконечно малая, то

h. Если а эквивалентно , то

откуда следует, что

где - бесконечно малая, отсюда

т. е. бесконечно малая а равна эквивалентной ей , сложенной с бесконечно малой высшего порядка.

Обратно, из

ввиду пункта «g» следует, что а эквивалентна .

i. При вычислении предела отношения бесконечно малых каждую из них можно заменить величиной, ей эквивалентной.

Если

то имеем (пункт «b»)

где - бесконечно малые. Следовательно,

и если стремится к какому-либо пределу, то ввиду

к тому же самому пределу будет стремиться и то есть

Например, ввиду того, что эквивалентен эквивалентно имеем

Учащимся самим рекомендуется обобщить теорему на случай, когда и в числителе, и в знаменателе дроби имеется несколько бесконечно малых сомножителей.