§ 11. Директрисы гиперболы

а. В § 9 нами было сказано, что, начиная с известного места вывод уравнения гиперболы будет совпадать с таковым для эллипса.

Рис. 68

Следовательно, и для гиперболы будем иметь равенство

Если теперь вынесем в правой части эксцентриситет за скобку, то получим

b. Выражению в скобках можно дать простое геометрическое истолкование (рис, 68).

Для этой цели строим прямую с уравнением

Тогда расстояние от точки М до этой прямой будет

т. e. как раз равно выражению в скобках. Формула (1) принимает вид

с. Нетрудно показать далее, что правому фокусу будет отвечать и правая директриса с уравнением Подставляя в равенство получим

Мы видим, что выражение в скобках равно как раз расстоянию

или

Прямая называется директрисой отвечающей фокусу Формула (2) показывает, что отношение расстояний любой точки гиперболы до фокуса и до директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.