§ 12. Дифференциал

а. Понятие производной дает возможность составить особого рода приближенное выражение для приращения функции, отвечающего бесконечно малому приращению аргумента. Чтобы составить такое приближенное выражение, опять обратимся к графику функции

Если — две бесконечно близкие точки графика, первая с абсциссой вторая с абсциссой (рис. 12), то суть бесконечно малые приращения, которые получают абсцисса и ордината, когда точка М кривой переместится в точку .

Рис. 12

Приближенное выражение мы получим, если, ввиду малости дуги заменим эту дугу отрезком касательной.

Тогда приращения МК и КL, которые теперь получат и у, следуя уже не по кривой, а по касательной, обозначаются через

и называются - дифференциалом аргумента, -дифференциалом функции.

Мы видим, что т. е. дифференциал аргумента в точности совпадает с бесконечно малым приращением аргумента.

Что же касается дифференциала функции, то он, вообще говоря, не совпадает с истинным приращением функции (равным ), а является лишь приближенным выражением тем лучшим, чем меньше

Из имеем

а так как

то

т. е. дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента.

c. Выясним теперь разницу между истинным приращением функции и ее дифференциалом Из определения производной имеем

Следовательно,

где - бесконечно малая,

(ввиду ).

Мы видим отсюда, что истинное приращение функции состоит из двух слагаемых. Первое из них

есть бесконечно малая того же порядка, что и (за исключением случаев, когда Оно как раз и совпадает с

Второе же слагаемое

Оно является разностью между . Геометрически оно изображается отрезком

Итак, истинное приращение функции равно дифференциалу функции, сложенному с бесконечно малой порядка, высшего чем

В приложениях часто можно заменять на

Можно высказать утверждение, до известной степени обратное равенству (1):

Если мы каким-либо образом выразим через в форме

где а — бесконечно мешая, то непременно

Действительно, из (2) имеем

Например, если то из

мы можем теперь сразу заключить, что

потому что есть бесконечно малая порядка, высшего чем