§ 5. Функция Эйлера

a. Функция Эйлера определяется для всех целых положительных а и представляет собою число чисел ряда

взаимно простых с а.

Примеры.

b. 1. Пусть

— каноническое разложение числа а. Тогда имеем

или также

В частности, будем иметь

Действительно, применим теорему с, § 4. При этом числа и числа определим так: пусть. пробегает числа ряда (1); каждому значению приведем в соответствие число и число

Тогда S обратится в число значений , равных 1, т. е. в обратится в число значений , кратных d. Но может быть кратным d лишь при условии, что -делитель числа а. При наличии же этого условия обратится в число значений кратных d, т. е. в . Поэтому

откуда (ввиду 3, b, § 4) следует формула (3), а из последней (ввиду ) следует формула (4).

Примеры.

2. - мультипликативная функция, для которой при имеем .

Это следует из формулы (4) и теоремы d, § 2.

с. Имеем

В справедливости этой формулы убедимся, применяя тождество f, § 2, которое при дает

Ввиду (5) правая часть окажется равной

что после приведения в каждой большой скобке подобных членов обратится в

Пример. Полагая находим