Вопросы к главе 1

1. Пусть — целые, не равные одновременно нулю, и -наименьшее положительное число вида и у — целые). Доказать, что Отсюда вывести теорему 1, d, § 2 и теоремы . Обобщить эти выводы, рассматривая числа вида

2. Пусть - простое число, - натуральные числа, делит Методом математической индукции (индукцию вести по ) доказать, что делит либо , либо b. Отсюда вывести b), с) § 5.

3. а. Пусть , а если — несократимая дробь, то пусть также . Доказать, что а может приближаться несократимой дробью более точно, чем дробью лишь в случае

b. Пусть вещественное число а разложено в непрерывную дробь, N - целое положительное, к — число его десятичных знаков, — наибольшее целое с условием Доказать, что . Для доказательства выражения для следует сравнить с теми, которые они имели бы, если бы все были равны 1, и сравнить далее с числами , где - положительный корень уравнения

4. Пусть Ряд расположенных в порядке возрастания рациональных несократимых дробей с положительными знаменателями, не превосходящими , называется рядом Фарея, отвечающим .

a. Доказать, что часть ряда Фарея, отвечающего , содержащая дроби а с условием может быть получена следующим способом: пишем дроби Если то между этими дробями вставим еще дробь» затем в полученном ряде между каждыми двумя соседними дробями вставим дробь и т. д. до тех пор, пока это возможно.

Предварительно доказать, что для любой пары соседних дробей и ряда, получаемого указанным способом, имеем

b. Рассматривая ряд Фарея, доказать теорему: пусть 1, тогда всякое вещественное а можно представить в виде

c. Теорему вопроса b доказать, пользуясь 2, d, § 6.

5. а. Доказать бесконечность числа простых чисел вида

b. Доказать бесконечность числа простых чисел вида

6. Доказать бесконечность числа простых чисел, подсчитывая число чисел, не превосходящих N, в каноническое разложение которых не входят простые числа, отличные от

7. Пусть К — целое положительное. Доказать, что в ряде натуральных чисел имеется бесчисленное множество последовательностей не содержащих простых чисел.

8. Доказать, что среди чисел, представляемых многочленом где - целые и имеется бесчисленное множество составных.

9. а. Доказать, что неопределенному уравнению

удовлетворяют те и только те системы , где одно из чисел и у имеет вид другое — вид наконец, имеет вид при этом - четное.

b. Пользуясь теоремой вопроса а, доказать неразрешимость в целых положительных уравнения

10. Доказать теорему: если уравнение где -целые, имеет рациональный корень, то этот корень — целое число.

11.а. Пусть Доказать, что S — не целое.

b. Пусть Доказать, что S — не целое.

12. Пусть - целое, Доказать, что все коэффициенты разложения бинома Ньютона будут нечетными тогда и только тогда, когда имеет вид

Численные примеры к главе 1

1.а. Применяя алгоритм Евклида, найти (6188, 4709).

b. Найти (81 719, 52 003, 33649, 30 107).

2,а. Разложив в непрерывную дробь паро 23424 и составив таблицу подходящих дробей (с, § 6), найти: а) представление а в виде, указанном в вопросе 4, b, считая

b. Разложив в непрерывную дробь и составив таблицу подходящих дробей, найти: представление а в виде, указанном в вопросе 4, b, считая

3. Составить ряд дробей Фарея (вопрос 4) от 0 до 1, исключая 1, со знаменателями, не превосходящими 8.

4. Составить таблицу простых чисел, меньших 100.

5. а. Найти каноническое разложение числа 82 798 848.

b. Найти каноническое разложение числа 81 057 226 635 000.