§ 19. Упражнения

Доказать, что:

(см. скан)

(см. скан)

53. Под каким углом наклонена к оси абсцисо касательная к синусоиде в начале координат? Ответ: .

54. Тот же вопрос в отношении тангенсоиды. Ответ .

55. Написать уравнения касательной и нормали к кривой у в точке с абсциссой —1. Ответ:

56. На кривой найти точку, где касательная наклонена к оси абсцисс под углом ; Ответ

57. На кривой найти точку

a) в которой угловой коэффициент касательной равен 2;

b) в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 45°. Ответ: .

Рис. 14

Рис. 15

58. К той же кривой провести касательную параллельно прямой Ответ:

59. К кривой провести касательную под углом 45° к оси абсцисс. Ответ:

60. К той же кривой провести касательную так, чтобы она прошла через точку Ответ .

61. К параболе провести нормаль параллельно прямой Ответ

62. Доказать, что касательная к параболе (рис. 14), проведенная в точке М с ординатою отсекает на отрицательной оси отрезок длиною, равной ординате точки касания.

63. Для равнобочной гиперболы у показать, что отрезок касательной, заключенный между осями, делится точкой касания на две равные части.

64. Точка М равномерно движется по окружности радиуса R (рис. 15). Полный оборот она делает за Т секунд. Найти закон движения точки — проекции М на ось (найти как функцию t) и определить скорость v движения точки если известно, что в начале движения (т. е. при ) точка М находилась в причем Ответ .

65. Найти если Ответ:

Найти если Ответ:

67. Найти если (по формуле Лейбница). Ответ:

68. Найти если Ответ:

69. Найти если Ответ:

70. Найти у и если Ответ:

71. Найти угловой коэффициент касательной в точке с координатами : а) для эллипса для гиперболы . Ответ ;

72. Найти у и , если . Ответ:

73. Доказать, что уравнение касательной к параболе в точке можно представить в форме

где х и у — постоянные координаты точки касания, а X и Y — текущие координаты касательной (т. е. координаты любой точки касательной — то, что мы в отношении линии обычно обозначаем буквами х и у).

74. Доказать, что уравнение касательной к эллипсу в точке можно представить в форме

75. Доказать, что уравнение касательной к гиперболе в точке можно представить в форме

76. Доказать, что касательная к параболе проведенная в точке М, образует равные острые углы с прямой MF (F — фокус параболы) и прямой МТ, параллельной оси абсцисс.

77. Доказать, что для эллипса расстояния от фокусов до касательной пропорциональны расстояниям от фокусов до точки касания. Отсюда вывести, что касательная в точке М образует равные острые углы с прямыми - фокусы эллипса).

78. Для гиперболы доказать, что касательная в точке М делит пополам угол и F — фокусы гиперболы).

79. Доказать, что уравнение касательной к равнобочной гиперболе точке можно представить

80. Доказать, что уравнение касательной к окружности в точке можно представить в форме

81. Найти уравнение касательной к окружности в точке с абсциссой Ответ:

82. Провести касательную к окружности параллельно прямой Ответ:

83. Из точки провести касательную к окружности Ответ:

84. Найти у и если

85. Найти угловой коэффициент касательной к кривой, заданной параметрическими уравнениями

в точке, отвечающей значению t. Ответ:

86. Найти уесли . Ответх

87. Найти у, если Ответ:

88. Найти у, если Ответ:

89. На циклоиде найти точку, в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом 30°. Ответ

90. Составить общее уравнение касательной к циклоиде в точке, отвечающей значению t параметра. Ответх

91. Дифференциал некоторой функции равен

найти дифференциал той же функции, считая аргументом

0 которым связано уравнением Ответ:

92. Дано Найти новое выражение если . Указание: сначала выразить через t. Ответ .

93. То же самое, если

Ответ

94. То же самое, если

Ответ:

95. То же самое, если

Ответ:

96. То же самое, если

Ответ: