§ 4. Проекция вектора с оси на ось

а. Проекцией точки А на ось PQ (рис. 4) называется основание а перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную ось. Та ось, на которую мы проектируем, называется осью проекций.

Ь. Пусть даны две оси и вектор А В, указанные на рис. 5.

Рис. 4

Рис. 5

Вектор началом которого служит проекция начала и концом — проекция конца данного вектора, называется проекцией вектора А В на ось PQ, Записывается это так;

Иногда указатель PQ внизу не пишется, это делается в тех случаях, когда кроме PQ нет другой осиг на которую можно было бы проектировать.

с. Теорема I. Величины векторов, лежащих на одной оси, относятся как величины их проекций на любую ось.

Рис. 6

Пусть даны оси и векторы, указанные на рис, 6. Из подобия треугольников видно, что длины векторов относятся, как длины их проекций, т. е.

Так как векторы на чертеже направлены в разные стороны, то величины их имеют различный внак, следовательно,

Очевидно, величины проекций также имеют различный знак:

подставляя (2) в (3) в (1), получим

Меняя знаки на обратные, получим

Если векторы будут одинаково направлены, то будут одного направления и их проекции; в формулах (2) и (3) знаков минус не будет. Подставляя (2) и (3) в равенство (1), мы сразу получим равенство (4). Итак, теорема доказана для всея случаев.

Рис. 7

d. Теорема II. Величина проекции вектора на любую ось равна величине вектора, умножен» ной на косинус угла между осью проекций и осью вектора, Пусть даны оси вектор как указано на рис. 7. Построим вектор одинаково направленный со своей осью и отложенный, например, от точки пересечения осей. Пусть длина его равна единице. Тогда и величина его

Очевидно, вектор есть линия косинуса для угла а между осями, следовательно, его величина

Применяя теорему получим

Подставляя (1) и (2) в получим

Отсюда