Научная библиотека

§ 2. Сравнения первой степени

а. Сравнение первой степени перенесением свободного члена (с обратным знаком) в правую часть можно привести к виду

b. Приступая к исследованию вопроса о числе решений, мы сначала ограничим сравнение условием Согласно § 1 наше сравнение имеет столько решений, сколько вычетов полной системы ему удовлетворяет. Но когда х пробегает полную систему вычетов по модулю , то пробегает полную систему вычетов (d, § 4, гл. III). Следовательно, при одном и только одном значении взятом из полной системы, будет сравнимо с b. Итак, при сравнение (1) имеет одно решение.

c. Пусть теперь Тогда, чтобы сравнение (1) имело решения, необходимо (е, § 3, гл. III), чтобы b Делилось на d, иначе сравнение (1) невозможно ни при каком целом Предполагая поэтому b кратным d, положим Тогда сравнение (1) будет равносильно такому (по сокращении ): в котором уже и потому оно будет иметь одно решение по модулю Пусть — наименьший неотрицательный вычет этого решения по модулю тогда все числа образующие это решение, найдутся в виде

По модулю же m числа (2) образуют не одно решение, а больше, именно столько решений, сколько чисел (2) найдется в ряде 0, 1, 2, 1 наименьших неотрицательных вычетов по модулю . Но сюда попадут следующие числа (2):

т. е. всего d чисел (2); следовательно, сравнение (1) имеет d решений.

d. Собирая все доказанное, получаем теорему:

Пусть Сравнение невозможно, ест b не делится на d. При b, кратном d, сравнение имеет d решений.

e. Обращаясь к разысканию решений сравнения (1), мы укажем только способ, основанный на теории непрерывных дробей, причем достаточно ограничиться лишь случаем

Разлагая в непрерывную дробь отношение

и рассматривая две последние подходящие дроби:

согласно свойствам непрерывных дробей (d, § 6, гл. I) имеем

Итак, наше сравнение имеет решение

для разыскания которого достаточно вычислить согласно способу, указанному в с, § 6, гл. I.

Пример. Решим сравнение

Здесь причем 75 кратно 3. Поэтому сравнение имеет три решения.

Деля обе части сравнения и модуль на 3, получим сравнение

которое нам следует сначала решить. Имеем

Значит, в данном случае и мы имеем решение сравнения (4) в виде

Отсюда решения сравнения (3) представляются так:

т. е.