§ 34. Преобразование координат

а. Если даны координаты х, какой-либо точки М пространства относительно данной системы осей , то весьма важно бывает знать связь этих координат с координатами той же точки относительно какой-либо новой системы осей.

Рис. 122

b. Сначала рассмотрим случай параллельного переноса осей, т. е. случай, когда новые оси параллельны старым.

Пусть а, b, с — старые координаты нового начала О (рис. 122). Проектируя векторную цепь и замыкающий ее вектор ОМ на старую ось имеем

но

и потому

Аналогично этому, проектируя на ось получим

Наконец, проектируя на ось , найдем

Таким образом, будем иметь следующие формулы перехода;

которые выражают старые координаты точки через ее новые координаты и так же, как в плоской геометрии, носят название формул перехода.

с. Теперь рассмотрим случай, когда новые оси имеют старое начало, но новые направления (рис. 123). Положение новых осей тогда определится углами, которые новые оси координат образуют со старыми осями.

Пусть эти углы даются следующей таблицей:

Рис. 123

Обратно, легко видеть, что если принять за основную не старую, а новую систему осей, то старые оси суть оси, образующие с новыми следующие углы

Вектор ОМ имеет проекциями на новые оси числа следовательно, его проекции а, у, в на старые оси как на оси, образующие о новыми осями указанные выше углы, согласно (1) § 4 выразятся так:

Это формулы перехода для рассматриваемого случая.

d. Читателю предлагается самому показать по аналогии с плоской геометрией, что в общем случае, когда новые оси имеют и новое начало, и новые направления, формулы перехода будут иметь вид