§ 10. Особые случаи разыскания предела

a. Чтобы пользоваться правилом

надо быть уверенным в том, что функция непрерывна при

Однако непрерывность функций мы выяснили только для конечных значений поэтому в стороне от правила (1) остаются пределы вида

где или Пределы такого типа имеют весьма важные приложения, а потому мы покажем здесь на частных примерах некоторые общие приемы их вычисления.

Пример 1. Найти предел

Если в написанном выражении мы будем беспредельно увеличивать аргумент то как числитель, так и знаменатель будут беспредельно расти условно говорят, что при выражение обращается в неопределенность вида

Поэтому раньше чем разыскивать предел, мы постараемся преобразовать функцию, предел которой разыскиваем, к другому виду, по которому этот предел разыскивать было бы проще. В данном случае делим числитель и знаменатель на Имеем

Здесь можно применить теорему о пределе отношения (предел знаменателя не нуль), и наш предел окажется равным

Пример 2. В разобранном выше примере, независимо от того, стремится ли или к предел получается один и тот же. Однако бывают случаи, когда величина предела зависит от знака бесконечности. Например, если стремится к то (полагая ) имеем

Если же стремится к то имеем

(знаменатель стремится к ).

Пример 3. Найти предел

(неопределенность вида ).

Умножим и разделим разность, стоящую в скобках, на сумму тех же величин и получим

Очевидно,

с. Бывает, что аргумент стремится к конечному пределу а, но при этом оказывается, что функция как раз при терпит разрыв непрерывности. Тогда правилом (1) пользоваться нельзя.

Чаще всего не удовлетворяет при первому условию непрерывности. Это бывает, когда формула, определяющая теряет смысл при — а. Пределы послед него типа имеют, однако, первостепенное значение для всего анализа бесконечно малых. Поэтому мы покажем здесь на частных примерах некоторые общие приемы вычисления и таких пределов.

Пример 1. Найдем предел

Здесь при функции теряет смысл, так как обращается в

(неопределенность вида Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что с приближением к 2 наша функция все же будет приближаться к вполне определенному пределу.

Для этой цели, когда приближается к 2 (и, следовательно, не равно 2), преобразуем нашу дробь в другую, равную ей при всех х, отличных от 2, но предел которой будет легко разыскать.

Именно, замечая, что корни уравнения

суть —1 и 2, имеем

Замечая же, что корни уравнения

суть 1 и 2, имеем

Поэтому

Сокращая на (что мы вправе делать, когда не равно 2), мы приведем нашу дробь к виду

Так как с приближением к 2 последняя дробь стремится к пределу (предел знаменателя теперь не нуль)

то к тому же пределу стремится и заданная дробь (так как она равна преобразованной все время, когда не равно 2), то есть

Пр и мер 2. Найти предел

неопределенность j. Преобразуем нашу дробь, умножая числитель и знаменатель на сумму . Получим

Пример 3. Найдем еще предел

(неопределенность ). Здесь x считаем постоянным, переменным и бесконечно малым, так что вся дробь — функция аргумента h.

Имеем

Пример 4. В трех разобранных примерах предел получается один и тот же независимо от способа приближения аргумента к его пределу. Бывают, однако, случаи, когда величина предела зависит от различия в способе такого приближения.

Например, если будем приближать к нулю со стороны отрицательных то получим (полагая )

Если же будем приближать к нулю со стороны положительных , то получим

(см. также пример 2 пункта «а»).