§ 17. Дифференцирование функций, заданных параметрическим способом

а. Пусть

— параметрическое задание функции. Конечно, исключая из этих уравнений t, можно было бы получить и обыкновенное уравнение, связывающее х и у, и, пользуясь им, найти

Однако такой способ иногда очень затруднителен (например, если уравнения (1) изображают циклоиду), и потому мы постараемся найти

непосредственно на основании уравнений (1).

b. Пусть — бесконечно малые приращения переменных (например, для циклоиды можно рассматривать как бесконечно малые приращения, которые получат угол t и координаты точки М, когда эта точка переместится в бесконечно близкое положение ). Если - время и (х; у) - координаты некоторой точки М, движущейся в плоскости , то обозначают бесконечно малые приращения времени t и этих координат, когда точка М перемещается в бесконечно близкое положение т. Деля числитель и знаменатель на имеем из (2)

Но пределы

мы легко найдем, так как нам известны выражения (1) у и через

Ввиду того, что

имеем

А ввиду равенства

имеем

Тогда формула (3) принимает вид

c. Еще раз напомним, что в этой формуле у обозначает производную у по т. е. и желая это особенно подчеркнуть, мы можем обозначать эту производную символом так что

Эту производную ни в коем случае не следует смешивать с производной у по t, которую можно обозначать символом , так что

Формулу (4) можно переписать и в другой форме, более удобной для запоминания. Умножая числитель и знаменатель на имеем

Но суть не что иное, как дифференциалы функций и вычисленные в предположении, что аргументом является

и, следовательно, формулу (4) можно записать еще и так»

Производная функции, заданной параметрическим способом (1), выражается отношением дифференциалов, как и при обычном задании функции, но с тою разницей, что теперь, при вычислении дифференциалов dy и dx, обе переменные рассматриваются как функции аргумента

Рис. 13

е. Для примера найдем угловой коэффициент касательной к циклоиде

в точке (рис. 13). Здесь у можно находить или по формуле (4), или же по формуле (5).

Пользуясь, например, формулой (5), имеем

В точке имеем

Следовательно, касательная к циклоиде в начале координат перпендикулярна оси абсцисс.

В точке имеем

и, действительно, в этой точке касательная параллельна оси абсцисс.

f. В качестве упражнения решим следующую задачу] на циклоиде найти точку, в которой касательная наклонена к оси абсцисс под углом

Пусть - неизвестное значение параметра. Так как по условию должно быть

то, следовательно, t найдется из уравнения

Значит, искомая точка есть Ее координатами будут

g. Чтобы вычислить вторую производную у функции у по х, заметим, что у есть производная у по х, т. е.

и, следовательно, ввиду равенств

выражающих через t, ее можно представить в форме

h. Далее, имея выражения и через t, мы можем найти

i. Пример. На основании равенств

выше мы нашли

Теперь на основании равенств

легко найдем

A на основании равенств

легко найдем