§ 12. Дифференциал дуги

a. Если кривая задана уравнением

то длина s дуги этой кривой, отсчитываемая от неподвижной точки до подвижной точки М (рис. 31), зависит от положения этой последней точки: она является некоторой функцией абсциссы точки М, или же функцией параметра t, определяющего положение точки М, если кривая задана параметрическим способом.

Рис. 31

Во многих вопросах весьма важно знать производную и дифференциал этой функции.

Для этой цели дадим абсциссе точки М бесконечно малое приращение Тогда точка М передвинется в бесконечно близкое положение , а дуга s получит бесконечно малое приращение Получим

Так как дуга эквивалентна хорде то

b. Что бы мы ни брали за аргумент или какой-либо параметр t, если кривая задана параметрически), всегда

Поэтому имеем (все дифференциалы должны быть выражены через одну переменную)

Пример 1. Для параболы имеем

Пример 2. Для циклоиды

имеем