§ 7. Упражнения

1. Построить графики функций:

2. Построить графики функций:

3. Построить графики функций:

4. Построить графики функций:

5. Из жестяного прямоугольного листа с основанием и высотой b вырезаны по углам квадраты со стороной из оставшейся части согнута коробка (рис. 41). Найти объем коробки как функцию от Ответ:

6. В прямоугольном треугольнике с постоянной гипотенузой 1 и переменным катетом выразить другой катет у как функцию Ответ:

7. В шар радиуса R вписан цилиндр (рис. 42). Найти объем V этого цилиндра как функцию радиуса его основания. Ответ:

Рис. 41

Рис. 42

Рис. 43

8. Выразить тот же объем как функцию угла а (см, предыдущую задачу). Ответ: .

9. В круг радиуса В вписан прямоугольник (рис. 43). Выразить площадь S этого круга как функцию его основания Ответ:

10. Выразить ту же (смотри предыдущую задачу) площадь как функцию угла а. Ответ: .

11. В прямоугольном треугольнике с постоянным катетом а и переменной гипотенузой выразить последнюю как функцию другого катета Ответ:

На стене висит плакат АВ, на расстоянии от стены находится глаз наблюдателя; верхний конец В плаката выше глаза на а нижний конец А выше глаза на а (рис. 44). Выразить угол зрения как функцию от Ответ:

13. Миноносец находится в точке А на расстоянии а от берега. На расстоянии b от ближайшей к миноносцу точки берега в точке С находится военный лагерь. Гонец плывет в шлюпке до точки а потом идет пешком расстояние (рис. 45).

Выразить время Т, необходимое, чтобы проплыть и пройти расстояние, как функцию от если скорость шлюпки а скорость пешехода

Рис. 44

Рис. 45

Ответ:

14. Доказать, что для любого (разумеется, численно меньшего единицы) имеет место тождество

15. Доказать, что для любого имеет место тождество

16. Доказать юждества:

17. Доказать тождества:

18. Доказать тождества:

19. Доказать тождества: