§ 12. Парабола. Построение по точкам

а. Выше мы показали, что как эллипс, так и гиперболу можно рассматривать как геометрическое место точекч отношение расстояний которых до фокуса и до директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету :

На рис. 69 мы умышленно взяли для эллипса левые фокус и директрису, а для гиперболы — правые.

Разница между эллипсом и гиперболой, однако, состоит в том, что для эллипса тогда как для гиперболы Естественно возникает вопрос: посмотреть, нет кривой, у которой всегда

Кривая, отвечающая этому случаю, не будет ни эллипсом, ни гиперболой.

Рис. 69

Это будет новая кривая — ее называют параболой.

Таким образом, для любой точки параболы

т. е. расстояния от нее до фокуса и до директрисы равны, b. Парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса и от директрисы.

Рис. 70

Директрису PQ и фокус F располагают, как указано на рис. 70. Середина О отрезка KF (перпендикулярного к директрисе) принадлежит параболе, так как равноудалёна от фокуса и директрисы. Ее мы принимаем за начало координат, направляя ось абсцисс по

Точка О называется вершиной параболы форма параболы, очевидно, зависит только от расстояния KF. Это расстояние обозначается буквою и называется параметром параболы.

Имеем, очевидно, равенство

Координаты фокуса F будут

с. Чтобы выяснить, какую форму имеет парабола, покажем, как ее можно построить по точкам. Согласно определению расстояния и d от любой точки параболы до фокуса и до директрисы должны быть равны. Поэтому если мы, желая перейти от одной точки параболы к другой, увеличиваем или уменьшаем , то d должно тоже увеличиться или уменьшиться и притом на такую же величину.

Основываясь на этом, построение параболы можно осуществить так.

Сначала строим вершину О. Мы видим, что О есть точка касания окружности с центром в F и радиусом FO с осью Оу.

Дальнейшие точки параболы получим уже пересечением прямых, параллельных Оу, и окружностей с центром в F, причем расстояния d прямых от директрисы и радиусы окружностей берутся соответственно равными:

так что каждые новые и d больше предыдущих и притом на одну и ту же величину