Вопросы к главе II

1. а. Пусть в интервале функция непрерывна и неотрицательна. Доказать, что сумма

выражает число целых точек (точек с целыми координатами) плоской области:

Пусть - положительные, нечетные взаимно простые. Доказать, что

c. Пусть — число целых точек области Доказать, что

d. Пусть — число целых точек области Доказать, что

e. Рассмотрим многоугольник, вершины которого целые точки и контур которого сам себя не пересекает и не касается. Пусть - площадь многоугольника и где суммирование распространяется на все целые точки, лежащие внутри многоугольника и на его контуре, причем для внутренних точек и для точек контура. Доказать, что

2. Пусть — целое, пробегает целые положительные числа, не делящиеся на степень целого, превосходящего 1. Доказать, что

3. Пусть положительные таковы, что

образуют, вместе взятые, все числа натурального ряда без повторений. Доказать, что это имеет место тогда и только тогца, когда а иррациональное, причем

4. а. Пусть — числа , расположенные в таком порядке, чтобы числа

шли не убывая. Доказать теорему вопроса 4, b, гл. I, рассматривая разности соседних чисел последнего ряда.

b. Пусть — вещественные числа, каждое из которых не меньше — вещественные. Доказать, что существуют целые не равные одновременно нулю, и целое удовлетворяющие условиям:

5. Пусть а — вещественное, с — целое, Доказать, что

6. а. Пусть - вещественные. Доказать, что

b. Пусть а, -целые положительные, Применяя b, § 1, доказать, что

есть целое число.

7. Пусть — целое, — простое и

Представляя h в виде где наибольшее не превосходящее — наибольшее кратное не превосходящее — наибольшее кратное не превосходящее — наибольшее кратное не превосходящее и т.д., доказать, что числа а с условием, что в каноническое разложение а) число входнт с показателем , существуют тогда и только тогда, когда все меньше , причем в этом случае указанные а суть все числа вида

где имеет значения:

8, а. Пусть в интервале функция имеет вторую непрерывную производную. Полагая

доказать, что

b. Пусть условие вопроса а выполняется при сколь угодно больших , причем сходится. Доказать, что

где С не зависит от

c. Если В принимает лишь положительные значения и отношение остается ограниченным сверху, то пишем , или

Пусть — целое, Доказать, что

9. а. Пусть , где пробегает простые числа. Пусть, далее, и при

Доказать, что

b. При доказать, что

где - пробегает простые числа.

c. Пусть — произвольное положительное постоянное. Доказать, что в ряде натуральных чисел существует бесчисленное множество пар простых чисел с условием .

d. Пусть . Доказать, что

где пробегает простые числа и С не зависит от

Пусть . Доказать, что

где пробегает простые числа и не зависит от .

f. Доказать существование постоянного с условием, что при любом целом для простого числа ряда имеет место неравенство

g. Доказать, что

10, а. Пусть - функция мультипликативная. Доказать, что - также функция мультипликативная.

b. Пусть функция определена для всех целых положительных а и функция - мультипликативная. Доказать, что функция также мультипликативная.

11. Пусть при обозначает число решений неопределенного уравнения независимо друг от друга пробегают целые положительные числа); в частности, очевидно, . Доказать, что

a. - функция мультипликативная.

b. Пусть - простое, Тогда

c. Если — произвольное положительное постоянное, то

d. выражает число решений неравенства в целых положительных

12. Пусть обозначает вещественную часть числа

При полагаем . Пусть — целое.

Доказать, что

13, а. При доказать, что

где пробегает все простые числа.

b. Доказать бесконечность числа простых чисел, исходя из того, что гармонический ряд расходящийся.

c. Доказать бесконечность числа простых чисел, исходя из того, что иррациональное, о

14. Пусть для где — простое и - целое положительное; для других целых положительных а. При доказать, что

15. Пусть . Доказать, что

где пробегает простые числа.

16, а. Пусть Применяя , § 4, доказать, что

b. Пусть Доказать, что

c. Пусть - целое, - число целых х с условием не делящихся на степень целого, превосходящего 1. Применяя , § 4, доказать, что

17, а. Пусть а — целое, и для целых однозначно определена функция Доказать; что

где S обозначает сумму значений распространенную на значения взаимно простые с и - сумму значений , распространенную на значения кратные

Пусть и заданы системы

каждая из которых состоит из целых чисел, не равных одновременно нулю. Пусть далее для этих систем однозначно определена функция Доказать, что

где S обозначает сумму значений распространенную на системы взаимно простых чисел, и обозначает сумму значений распространенную на системы чисел, одновременно кратных d. При этом d пробегает целые положительные числа.

c. Пусть — целое, и для делителей числа а однозначно определена функция . Полагая

доказать, что (закон обращения числовых функций)

d. Пусть целым положительным

отвечают любые вещественные или комплексные, не равные нулю:

Доказать, что

где обозначает произведение значений отвечающих значениям , равным 1, обозначает произведение значений отвечающих значениям , кратным причем d пробегает все целые положительные числа, делящие хотя бы одно .

18. Пусть а — целое, - сумма степеней чисел ряда , взаимно простых с — все простые делители числа а.

а. Применяя теорему вопроса 17, а, доказать, что

b. Доказать, что

c. Доказать, что

19. Пусть , а — целое, — число чисел с условиями — произвольное положительное постоянное.

a. Доказать, что

b. Доказать, что

c. Пусть - число простых чисел, не превосходящих — произведение простых чисел, не превосходящих .

Доказать, что

20. Пусть — целое, . Доказать, что

где в левой части пробегает целые положительные числа, взаимно простые с а, а в правой части пробегает все простые делители числа а.

21. а. Вероятность Р того, что к целых положительных чисел будут взаимно простыми, определим как предел при вероятности того, что будут взаимно простыми к чисел каждому из которых независимо от остальных присвоено одно из значений принимаемых за равновозможные. Применяя теорему вопроса 17, b, доказать, что

b. Определяя вероятность Р несократимости дроби — аналогично тому, как в вопросе а при доказать, что

22, а. Пусть — число целых «чек с взаимно простыми координатами, лежащих в области Доказать, что

b. Пусть — число целых точек с взаимно простыми координатами, лежащих в области Доказать, что

23. а. Теорему 2, b, § 4 доказать, считая делители числа а, не делящиеся на квадрат целого, превосходящего 1, и имеющие простых делителей.

b. Пусть а — целое, d пробегает делители числа а, имеющие не более чем m простых делителей. Доказать, что при m четном а при m нечетном

При условиях теоремы с, § 4, считая все неотрицательными и заставляя d пробегать лишь числа, имеющие не более чем m простых делителей, доказать, что

в зависимости от того, будет ли m четным или нечетным.

d. Такие же, как в вопросе с, неравенства доказать при условиях вопроса 17, а, считая все значения неотрицательными, а также при условиях 17, b, считая все значения неотрицательными.

24. Пусть - любое постоянное с условиями - число простых чисел с условиями: где - целое. Доказать, что

Для доказательства, полагая простые числа с указанными условиями следует рассматривать как частный случай всех чисел с этими условиями взаимно простых с а, где а — произведение всех простых, не превосходящих и не делящих q. Следует применить теорему вопроса 23, d (условия вопроса 17, а) с указанным а и

25. Пусть четное; каноническое разложение числа а имеет вид и d пробегает делители числа а с условием . Доказать, что

26. Пусть - целое, d пробегает делители числа с условием Доказать, что

27. Пользуясь выражением для доказать бесконечность числа простых чисел.

28. а. Теорему с, § 5 доказать, установив, что число чисел ряда , имеющих с а один и тот же общий наибольший делитель , равно

b. Вывести выражение для :

а) пользуясь теоремой вопроса 10, b;

Р) пользуясь теоремой вопроса 17, с.

29. Пусть Доказать, что

30. Пусть — целое, 2. Доказать, что

Численные примеры к главе 2

1, а. Найти показатель, с которым 5 входит в каноническое разложение 5258! (см. вопрос ).

b. Найти каноническое разложение числа 125)

2. а. Найти .

b. Найти .

3. Составить таблицу значений функции (а) для всех

4. Найти: а) .

5. Составить таблицу значений функции для всех пользуясь только формулой (5), § 5 и мультипликативностью функции .