§ 2. Возрастание и убывание функций. Максимум и минимум

а. В § 1 гл. 2 нами была выяснена связь, которая существует между возрастанием и убыванием функции

и знаком ее первой производной

Именно:

в интервалах возрастания функции

в интервалах убывания функции

Например, функция, график которой изображен на рис. 18, возрастает в интервалах и убывает в интервалах

Рис. 18

В первых пяти интервалах положителен, в четырех последних отрицателен.

b. Особенно следует отметить точки

нашего графика, отвечающие абсциссам

Во всех этих точках касательная параллельна оси абсцисо и, следовательно, ее угловой коэффициент равен нулю, то есть

c. В частности, когда возрастая, проходит значение функция переходит от возрастания к убыванию. При имеет максимум. Нетрудно видеть, что, кроме наша функция имеет максимумы и при

Когда возрастая, проходит значение переходит от убывания к возрастанию. При имеет минимум. Нетрудно видеть, что, кроме наша функция имеет минимумы и при

Когда возрастая, проходит значение функция переходит от убывания к убыванию. Мы видим, что при происходит лишь некоторое замедление в убывании функции.

имеет точку замедления при (точки замедления — частный вид точек перегиба, о которых будет сказано позднее).

Точно так же имеет точку замедления и при только при переходит от возрастания к возрастанию.

f. Пример. Для функции

(рис. 19) имеем

Производная у отрицательна при отрицательных и положительна при положительных Значит, рассматриваемая функция (график ее — парабола) убывает, когда пробегает отрицательные значения, и возрастает, когда пробегает положительные значения.

Рис. 19

Рис. 20

При имеем причем функция переходит от убывания к возрастанию, т. е. при наша функция имеет минимум.

g. Пример. Для функции

имеем

Мы видим, что у все время положительна (как при отрицательных, так и при положительных значениях ), кроме значения когда она равна нулю. Значит, рассматриваемая функция все время возрастает и только при имеет точку замедления (рис. 20).