§ 2. Производная как предел

а. Касательную в точке М можно рассматривать как предельное положение секущей проходящей через точку М и через бесконечно близкую в ней точку m (точка М остается неподвижной, а точка m к ней неограниченно приближается; рис. 9). Соответственно этому угол а наклона касательной к оси абсцисс можно рассматривать как предел переменного угла а наклона секущей к оси абсцисс. Из имеем

Рис. 9

Поэтому

или ввиду того, что (действительно, , где ), имеем

b. Эта формула и будет в дальнейшем служить для разыскания математического выражения производной, когда известно математическое выражение первоначальной функции Словами ее можно сформулировать так: Производная есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его бесконечно малому приращению аргумента (при стремлении последнего к нулю).

При разыскании этого предела следует твердо помнить, что остается постоянным (как абсцисса неподвижной точки М). Переменным является (стремящееся к нулю ввиду неограниченного приближения точки к М). Следует также помнить, что предел должен быть один и тот же, независимо от знака т. е.. независимо от того, приближается ли точка к М с правой стороны или же с левой.