§ 6. Непрерывные дроби и их связь с алгоритмом Евклида

а. Пусть а — любое вещественное число. Обозначим буквою наибольшее целое число, не превосходящее а. При нецелом а имеем Точно так же при нецелых имеем

ввиду чего получаем следующее разложение а в непрерывную дробь:

b. Если а — иррациональное, то и всякое — иррациональное (при рациональном а, ввиду (1) рациональным оказалось бы и а) и указанный процесс может быть неограниченно продолжен.

Если же а — рациональное и, следовательно, может быть представлено рациональной несократимой дробью с положительным знаменателем, то указанный процесс будет конечен и может быть выполнен с помощью алгоритма Евклида. Действительно, имеем:

Числа участвующие в разложении числа а в непрерывную дробь, называются неполными частными (в случае рационального а это будут, согласно b, неполные частные последовательных делений алгоритма Евклида), дроби же

называются подходящими дробями.

с. Весьма простой закон вычисления подходящих дробей получим, заметив, что получается из заменой в буквенном выражении для числа числом Действительно, полагая ради единообразия мы можем последовательно представить подходящие дроби в следующем виде (здесь равенство пишем, желая обозначить А символом а В — символом ):

и т. д. и вообще при s > 1

Таким образом, числители и знаменатели подходящих дробей мы можем последовательно вычислять по формулам

Эти вычисления удобно делать по следующей схеме (два последних столбца пишем лишь в случае, когда а — несократимая дробь с положительным знаменателем:

Пример. Разложим в непрерывную дробь несократимую дробь Здесь имеем

Поэтому указанная выше схема дает:

d. 1. При имеем

2. При имеем

Действительно, приняв обозначение мы при получим а при с помощью равенств (3) найдем Отсюда получим Пользуясь же этим равен ством при легко найдем

e. Пусть , а если - рациональная несократимая дробь с положительным знаменателем, то пусть также Тогда а лежит между причем ближе к нежели к

Действительно, заменив в равенстве (2) число числом получим

откуда убеждаемся, что первая из разностей, стоящих в скобках, и по знаку противоположна второй и численно (ввиду ) меньше последней. А этим и доказываются наши утверждения.