§ 5. Производные трех простейших функций

a. Как увидим далее, разыскание производных многих функций сводится к разысканию производных так называемых простейших функций

Математические выражения этих производных выводятся раз навсегда, и их учащиеся должны помнить наизусть.

b. Первой выведем производную функции

где — целое положительное. Здесь (аналогично будем поступать и дальше для обозначения производных других функций) наряду с обозначениями можно пользоваться и таким обозначением производной:

Имеем

Итак, имеем при целом положительном

Например, и т.д. В частности,

Итак,

Этот результат можно было предвидеть и из геометрических соображений. Действительно, график функции есть прямая линия. А так как касательная в любой точке прямой линии, очевидно, совпадает с самой прямой линией, то угловой коэффициент касательной тот же, что и у прямой у=х, т. е. 1.

с. Найдем производную функции

предполагая положительным). Здесь имеем

Отношение

бесконечно мало (ввиду бесконечно малого числителя) и потому может быть представлено в виде дроби

с бесконечно большим знаменателем . Из (1) находим

и выражение для у перепишется так:

откуда ввиду (натуральный логарифм) получим, наконец,

Итак,

d. Найдем производную функции

Здесь, применяя формулу разности синусов, имеем

Итак,