§ 6. Упражнения

1. Указать, где находится точка разрыва функции

Ответ: в точке (1; 2).

2. Указать, где находится разрыв функции

Ответ: функция имеет ось ординат линией разрыва.

3. Имеет ли функция разрыв? Ответ: функция имеет две линии разрыва: прямые

4. Имеет ли функция

разрыв? Ответ: функция имеет две линии разрыва: круг и равнобочную гиперболу .

5. Где находится разрыв функции

Ответ: в начале координат.

6. Где находится разрыв функции

Ответ: в точке .

7. Имеет ли функция

разрывы? Ответ: функция имеет разрывы на шаре

8. Найти частные производные функции

Ответ:

9. Найти для функции Ответ:

10. Найти и для функции Ответ:

11. Найти и для функции Ответ:

12. Вычислить частные производные функции в точке . Ответ:

13. Вычислить частные производные функции в точке Ответ:

14. Путем частного дифференцирования по или по у доказать, что формулы

переходят друг в друга.

15. Доказать, что для функции

имеет место соотношение

16. Найти частные производные функции . Ответ

17. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению частными производными

18. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

19. Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

20. Проверить равенство

где

21. Написать полный дифференциал функции

Ответ:

22. Написать полный дифференциал функции Ответ:

23. Вычислим полный дифференциал функции в точке если Ответ:

24. Доказать, что при равномерном нагревании однородного прямоугольного параллелепипеда его объем увеличивается на величину, равную произведению объема до нагревания на сумму относительных удлинений его ребер, если пренебречь малыми высшего порядка.

25. Вычислить, как увеличится объем конуса, у которого радиуо основания , а высота , если при нагревании радиус увеличивается на 3 мм, а высота на 1 мм.

Ответ: объем увеличится на .

26. При вычислении высоты дерева по формуле (рис. 55) измерили

Рис. 55

Какую погрешность следует ожидать при вычислении по нашей формуле, если погрешность при измерении b не превышает 5 см, а погрешность при измерении угла не превышает 0,5°. Ответ: погрешность не превышает 18,3 см.

27. Найти полную производную сложной функции , если Ответ:

28. Найти полную производную сложной функции

если при постоянных а, b, с, а. Ответ:

29. Найти если Ответ:

30. Основываясь на законе инвариантности, найти сокращенным способом полный дифференциал функции Ответ:

31. Так же найти полный дифференциал функции Ответ: .

32. Найти вторые частные производные функции Ответ:

33. Найти где . Ответ:

34. Найти если Ответ:

35. Найти если Ответ:

36. Найти если Ответ:

37. Найти если Ответ:

38. Доказать, что функция

удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными второго порядка вида

39. Доказать, что функция

удовлетворяет уравнению

40. Доказать, что функция

удовлетворяет уравнению

41. Если , то доказать, что имеет место равенство

42. Найти производную неявной функции Ответ:

43. Вычислить производную неявной функции при Ответ:

44. Найти и для неявной функции Ответ:

45. Доказать, что функция переменных заданная неявно уравнением удовлетворяет уравнению 1.

46. Доказать, что функция переменных заданная неявно уравнением удовлетворяет уравнению

47. Написать уравнение касательной плоскости К поверхности в точке (5; 4; 9). Ответ:

48. Написать уравнение нормали к той же поверхности в той же точке. Ответ:

49. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке (1; 2; —1). Ответ: касательная плоскость нормаль

50. Доказать, что уравнение касательной плоскости к эллипсоиду в точке эллипсоида имеет вид