§ 2. Основные задачи, решаемые методом координат

а. Задача первая. Вычисление проекций вектора по координатам его начала и конца

Пусть имеется вектор изображенный на рис. 27 причем его проекции на оси будут

Согласно определению и — радиус-векторы начала и конца данного вектора, и их проекциями на оси будут координаты точек

Ломаная линия есть цепь двух векторов причем вектор замыкает цепь.

Рис. 27

Проектируя эту цепь на ось абсцисс и на ось ординат, найдем

Отсюда имеем Перенося в правые части найдем

Таким образом, проекция вектора на ось абсцисс равна абсциссе конца минус абсцисса начала, а проекция на ось ординат равна ординате конца минус ордината начала.

Например, если имеется вектор с началом в точке и концом в точке , то получим

b. Задача вторая. Вычисление длины вектора по координатам его начала и конца.

Пусть требуется вычислить длину вектора (рис. 27), если даны точки Для вычисления длины вектора по ею проекциям X и Y мы уже раньше имели формулу

Для вычисления проекций мы также получили формулы, поэтому заменяя через и Y через найдем

Это равенство служит для вычисления длины вектора непосредственно по координатам начала и конца; его называют также формулой расстояния между двумя точками.

Пусть, например, нужно найти расстояние между точками , тогда получим

с Задача третья. Деление отрезка в данном отношении.

Пусть дан вектор с началом в точке и концом в точке (рис. 28).

Разделить отрезок в данном отношении — это значит найти на нем такую точку которая делила бы его на две части и , пропорциональные заранее заданным числами

Например, если нужно разделить отрезок в отношении 2:3, то должно быть меньше во столько раз, во сколько 2 меньше 3.

Будем решать задачу в общем виде. Пусть требуется явление произвести в отношении

Обозначим искомую сточку . По условию должно быть

Раньше было доказано, что величины проекций векторов, лежащих на одной оси, относятся, как величины векторов, т. е. поэтому

Далее, нам известно из задачи первой, что откуда имеем

Выше было сказано, что задать точку значит задать ее координаты; найти точку значит найти ее координаты. Так как точки даны, а точку М мы ищем, то в уравнении (3) известно все, кроме Решая это уравнение относительно найдем

Так же найдем, что

В частности, если точка М делит вектор на две равные части, то и тогда, заменяя 12 в формулах (4) и (5) черед вынесем за скобку и сократим на него.

Рис. 28

Получим

Итак, абсцисса середины вектора равна полусумме абсцисс его начала и конца, а ордината середины вектора равна полусумме ординат его начала и конца.

Пример 1. Имеется вектор, у которого начало в точке (-1; -3) и конец в точке . Требуется разделить его в отношении 3 : 5.

Решение:

Пример 2. Найти середину того же вектора.

Решение:

d. Задача четвертая. Вычисление площади треугольника по координатам его вершин.

Пусть дан треугольник изображенный на рис. 29. Любопытно, что решение этой задачи зависит от того порядка, в котором расположены возрастающие номера вершин. Для определенности разместим возрастающие номера, обходя периметр треугольникь против часовой стрелки, как это и показано на рис. 29.

Пусть координаты вершин будут

Сторорты треугольника можно рассматривать как векторы, имеющие начало в точке .

Обозначим длины этих векторов и проекции их на координатные оси соответственно через , а их углы с осью абсцисс через . Если обозначить через угол между этими векторами, то

Раньше мы доказали такую формулу:

Рис. 29

Умножим обе части этого равенства тогда получим

Из тригонометрии известно, что площадь S треугольника равна половине произведения длин двух его сторон, умноженного на синус угла между этими сторонами.

Рис. 30

Рассматривая левую, часть равенства (3), видим, что она равна площади треугольника если только — число положительное. Очевидно, угол положителен, если больше . Поэтому вместо левой части равенства (3) можно написать S, Если мы выберем другой порядок нумерации, размещая возрастающие номера вершин при обходе периметра по часовой стрелке, как на рис. 30, то угол будет меньше., чем угол Поэтому угол будет отрицателен и левая часть уравнения (3) будет равна площади треугольника S, взятой со знаком минус. Вместо левой части этого равенства мы должны будем написать —

Оба случая мы можем объединить в одной формуле:

Необходимо помнить, что в левой части, а следовательно, и в правой части этого равенства знак плюс появляется, если, обходя вершины в порядке возрастающих номеров, мы движемся против часовой стрелки в противном случае появляется знак минус.

Мы знаем, что

Подставляя (5) в (4), окончательно получим

В частности, если вершина М находится в начале координаты то и мы имеем

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

Решение:

В правой части мы получили знак минус, а иотому и в левой части необходимо взять минус. Следовательпо если мы будем переходить от и от мы будем двигаться по часовой стрелке, в чем можно убедиться непосредственно, построив эти точки. Ответ: ,