§ 5. Частные производные и полные дифференциалы высшего порядка

а. Мы опять будем говорить лишь о функциях двух переменных (но рассуждения пригодны и для функций любого числа переменных).

Пусть имеем функцию

и - ее частные производные. Последние, очевидно, также являются функциями х и у, а поэтому также можно находить их частные производные по х и по у.

Частная производная по частной производной по называется частной производной второго порядка по и обозначается так:

Аналогично определяем и частную производную второго порядка по у:

Частная производная по у частной производной по называется смешанной второй частной производной по и по у:

Аналогично определяем вторую частную производную, взятую сначала по у, а потом по

Можно доказать, что для многих функций смешанная производная не зависит от порядка дифференцирования, то есть что

Мы не будем приводить (ввиду сложности) доказательства этого важного свойства, а продемонстрируем его на каком-либо примере.

Пусть, например, дана функция

Дифференцируем ее сначала по х, а потом по

Теперь продифференцируем эту функцию сначала по у, а потом по

Как мы видим, результат в обоих случаях получился одинаковым.

Если мы будем брать частные производные по и по у частных производных второго порядка, то получим частные производные третьего порядка

Аналогично определяем частные производные четвертого, пятого порядков и т. д.

b. Подобно тому как мы брали частные производные частных производных, мы можем брать полный дифференциал полного дифференциала. Результат называется вторым полным дифференциалом и обозначается так же, как второй дифференциал функции одной переменной, т. е. так:

Третьим полным дифференциалом называется полный дифференциал второго полного дифференциала и т.

c. Покажем теперь, как выражается второй полный дифференциал через частные производные второго порядка. Для общности мы допустим, что и у могут зависеть от каких-либо других переменных. Обозначим для краткости

тогда

Чтобы найти второй полный дифференциал, мы должны взять первый полный дифференциал первого полного дифференциала. Замечая при этом, что, как показано в пункте «е» § 3 этой главы, правило для дифференцирования суммы и произведения применимо и к полному дифференциалу, мы можем написать

Так как p и q сами являются функциями двух переменных х и у, то

Поэтому

Заметим, что

Подставляя их в последнюю формулу, после раскрытия скобок окончательно получим

Если х и у являются независимыми переменными или линейными функциями других каких-либо переменных, то их вторые дифференциалы равны нулю;

и формула (8) упрощается:

Мы видим, что закон инвариантности применим ко второму дифференциалу лишь с очень большими ограничениями: он будет верен только в том случае, если х и у являются линейными функциями других переменных, во всех остальных случаях он неприменим. Рассматривая формулу (9), мы видим, что она очень напоминает формулу квадрата суммы двух чисел. Эта аналогия навела на мысль записывать второй дифференциал в нижеследующей символической форме:

Если мы «возведем в квадрат» сумму, стоящую в скобках, «умножим» результат на , приписывая его всегда к , а затем будем считать показатели степени у круглых не за настоящие степени, а за указатели, то и получим формулу (9) для второго полного дифференциала.

d. Аналогично мы найдем выражение для третьего полного дифференциала через третьи частные производные, затем найдем выражение для четвертого, пятого дифференциалов и т. д. При этом если х и у — независимые переменные или линейные функции, то полученные выражения будут аналогичны кубу суммы, четвертой степени суммы двух слагаемых и вообще аналогичны биному Ньютона.

Применяя символическую запись, мы можем выражение для полного дифференциала представить в таком виде:

Если и является функцией переменных , то полный дифференциал символически запишется как полином Ньютона:

Заметим, что последнее выражение также предполагает, что являются независимыми переменными или же линейными функциями каких-либо других переменных, ввиду того, что закон инвариантности имеет здесь те же ограничения, какие указаны для второго полного дифференциала функции двух переменных.