§ 16. Частные случаи

a. В частности, плоскость может быть параллельна одной из осей, и тогда направляющий вектор будет перпендикулярен этой оси. Проекции его на эту ось равна нулю и, значит, в уравнении плоскости пропадет соответствующая переменная.

b. Например, если плоскость параллельна оси то направляющий вектор перпендикулярен проекция А его на равна нулю, уравнение (1) § 15 примет вид

Исследуем это уравнение подробнее. Ему в частности, удовлетворяют точки линии пересечения плоскости о плоскостью Значит, это уравнение, рассматриваемое только в отношении точек плоскости изобразит в ней прямую ВС пересечения нашей плоскости с плоскостью — след нашей плоскости на плоскости (рис. 106).

c. Читателю предоставляется самому установить связь рассматриваемого случая с тем, что было сказано в § 12 о цилиндрических поверхностях вообще.

d. В частности, построение нашей плоскости сводится к построению следа ее на плоскости

Рис. 106

Рис. 107

e. Отметим случай, когда плоскость, кроме оси параллельна и другой оси, например оси Тогда уравнение плоскости (оно же уравнение следа плоскости на плоскости ) примет вид

(след — прямая, параллельная Оу). Решая относительно , приведем это уравнение к виду

Последнее уравнение отмечает собою не что иное, как тот факт, что все аппликаты плоскости, параллельной плоскости равны между собою — равны постоянной . В частности, величине равна, следовательно, и аппликата точки пересечения плоскости с осью (рис. 107).

f. В частности, при получаем уравнение самой плоскости в форме

(оно отмечает собою тот факт, что все аппликаты плоскости равны нулю).

Читатель сам сообразит далее, как будут выглядеть уравнения плоскостей, параллельных другим координатным осям или плоскостям.

g. В рассмотрении частных случаях обращались в нуль коэффициенты . Теперь посмотрим, что будет если

Тогда уравнение плоскости можно написать в виде

Но, переписав его в форме

мы видим, что оно изображает плоскость, проходящую через начало координат.

b. Например, уравнение

изображает плоскость, параллельную оси Ох; уравнение

— плоскость, параллельную оси Оу; уравнение

— плоскость параллельную оси наконец, уравнение

— плоскость проходящую черев, начало координат.