§ 6. Индексы по модулю 2^a

a. Для модуля 2 предыдущая теория заменяется несколько более сложной.

b. Пусть . Тогда . Имеем Первообразным корнем по модулю 2 будет, например, 1 за . Число образует приведенную систему вычетов по модулю 2.

c. Пусть . Тогда . Имеем . Первообразным корнем по модулю 4 будет, например, . Числа образуют приведенную систему вычетов по модулю 4.

d. Пусть . Тогда . Имеем . Нетрудно видеть, что первообразных корней в этом случае нет; более точно: показатель, которому принадлежит по модулю 2а нечетное число не превосходит . Действительно, имеем

При этом числа, принадлежащие показателю существуют. Таким числом будет, например, . Действительно,

откуда видим, что ни одна из степеней не сравнима с 1 по модулю

Нетрудно видеть, что числа двух следующих строк:

образуют приведенную систему вычетов по модулю . Действительно, число этих чисел будет числа каждой отдельно взятой строки между собой по модулю несравнимы (b, § 1); наконец, числа верхней строки несравнимы с числами нижней, так как первые по модулю 4 сравнимы с 1, а вторые

e. Для удобства дальнейших исследований мы выразим результаты b, с, d в более единообразной форме, которая будет пригодна и в случае

Пусть

(таким образом всегда ), и пусть независимо друг от друга пробегают наименьшие неотрицательные вычеты

по модулям с и Тогда пробегает приведенную систему вычетов по модулю .

f. Сравнение

имеет место тогда и только тогда, когда

Действительно, при террема очевидна. Поэтому предположим, что Пусть наименьшие неотрицательные вычеты по модулям , для чисел , будут а для чисел будут Ввиду с, § 1 (-1 принадлежит показателю с, а 5 принадлежит показателю , сравнение (1) имеет место тогда и только тогда, когда , т. е. (ввиду ) когда .

то система называется системой индексов числа а по модулю .

Ввиду всякое а, взаимно простое с (т. е. нечетное), имеет единственную систему индексов среди пар значений , указанных в .

Зная систему мы можем указать и все системы индексов числа а; согласно f это будут все пары , составленные из неотрицательных чисел классов

Непосредственно из данного здесь определения системы индексов следует, что числа с данной системой индексов , образуют класс чисел по модулю .

h. Индексы произведения сравнимы по модулям с и с суммами индексов сомножителей.

Действительно, пусть — системы индексов чисел . Имеем

Следовательно, — индексы произведения