Глава 3. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

§ 1. Непрерывность первой производной

a. Как уже было сказано в главе 2 (§ 1), исследование хода изменения функции тесно связано с изучением знака и величины производной этой функции

b. Эту производную мы будем считать непрерывной функцией х.

Рис. 16

Рис. 17

Но если с изменением меняется непрерывно, то это значит, что непрерывно изменяется угловой коэффициент касательной, а следовательно, непрерывно изменяется и сам угол а наклона касательной к оси абсцисс, т. е. при движении точки М по кривой направление касательной изменяется непрерывно. На рис. 16 угол а плавно уменьшается при движении точки М вправо.

Таким образом, непрерывному изменению первой проиэводной отвечает непрерывное изменение направления касательной.

с. Пример разрыва первой производной дает функция, график которой изображен на рис. 17. Здесь, когда точка движется по кривой АО, угол а непрерывно уменьшается от 0 до —45°. Следовательно, и а непрерывно уменьшается от 0 до —1.

Когда же точка М проходит через начало координат, угол а делает скачок на изменяясь сразу от —45° до 45°. Значит, у делает скачок от —1 до При дальнейшем движении точки М по кривой ОВ угол а непрерывно уменьшается от 45° до 0. Следовательно, непрерывно уменьшается от 1 до 0.

Таким образом, мы видим, что производная а функции, изображенной на рис. 17, при терпит разрыв непрерывности, не имея для этого никакого определенного значения, и, кроме того, предел, к которому стремится у с приближением к нулю, будет разный или в зависимости от того, приближается ли к нулю со стороны отрицательных значений или же со стороны положительных значений.

d. График функции

похож на график функции, изображенной на рис. 17 (перед корнем знак плюс). Действительно, ввиду имеем . Эта функция по абсолютной величине совпадает с . При х положительном положителен и, следовательно,

Наоборот, при отрицательном отрицателен и