§ 7. Производная сложной функции

а. Чтобы еще более расширить круг функций, производные которых мы можем отыскивать, рассмотрим производную сложной функции

(пункт § 6 гл. 1). Обозначая сложный аргументу через и, имеем

Производную сложной функции легко найти, если известны выражения производных обеих функций (2). Действительно,

Ввиду получаем

а ввиду получаем

Итак, можем написать

что ввиду (1) и (2) можно переписать в двух следующих формах

Значит, производная сложной функции равна произведению двух сомножителей. Первый есть

т. е. производная у по для его составления берем производную у, рассматривая всю функцию как один аргумент.

Второй сомножитель

является производной этого посредствующего аргумента по х.

Например,

b. Прежде чем вычислять производные по формуле иногда переписывают ее в соответствии с видом функции

Например,

Следуя второй из написанных формул, можно сразу писать

c. В виде приложения выведем производную функции

Имеем

Итак,