§ 4. Полная система вычетов

a. Числа равноостаточные, или, что то же самое, сравнимые по модулю , образуют класс чисел по модулю .

Из такого определения следует, что всем числам класса отвечает один и тот же остаток , и мы получим все числа класса, если в форме заставим q пробегать все целые числа.

Соответственно различным значениям имеем классов чисел по модулю .

b. Любое число класса называется вычетом по модулю по отношению ко всем числам того же класса. Вычет, получаемый при равный самому остатку , называется наименьшим неотрицательным вычетом.

Вычет , самый малый по абсолютной величине, называется абсолютно наименьшим вычетом.

Очевидно, при имеем при имеем наконец, если четное и за можно принять любое из двух чисел .

Взяв от каждого класса по одному вычету, получим полную систему вычетов по модулю т. Чаще всего в качестве полной системы вычетов употребляют наименьшие неотрицательные вычеты или также абсолютно наименьшие вычеты; последние, как это следует из вышеизложенного, в случае нечетного представляются рядом

а в случае четного каким-либо из двух рядов

c. Любые чисел, попарно несравнимые по модулю , образуют полную систему вычетов по этому модулю.

Действительно, будучи несравнимы, эти числа тем самым принадлежат к различным классам, а так как их , т. е. столько же, сколько и классов, то в каждый класс наверно попадет по одному числу.

d. Если их пробегает полную систему вычетов по модулю , то где b — любое целое, тоже пробегает полную систему вычетов по модулю т.

Действительно, чисел будет столько же, сколько и чисел т. е. т. Согласно с остается, следовательно, только показать, что любые два числа отвечающие несравнимым будут сами несравнимы по модулю т.

Но допустив, что , мы придем к сравнению , откуда, вследствие получим , что противоречит предположению о несравнимости чисел