§ 7. Приложение к построению графиков

a. Выше нами был указан способ выяснения общей формы графика путем построения точек, где у = 0. Этими точками мы Делили наш график на участки, в каждом из которых у или только увеличивается, или только уменьшается (как говорят, у изменяется монотонно).

b. Теперь мы можем выяснить форму графика более детально, строя те его точки, для которых равна нулю вторая производная

Этими точками наш график разделится на участки, которые уже не могут содержать точек перегиба, и потому они будут обращены выпуклостью или только вниз, или же только вверх.

Для этих участков, следовательно, у или только возрастает, или только убывает, и чтобы знать, что именно происходит — возрастание у или убывание, — мы, естественно, должны вычислить (и построить тоже) значения у на границах участков (т. е. в тех точках, где ). Действительно, если участок идет от большего значения у к меньшему, то его, очевидно, нужно чертить выпуклым вверх; если же он идет от меньшего значения у к большему, то его следует чертить выпуклым вниз.

Итак, для более детального построения графика мы строим еще те его точки, в которых

кроме того, строим касательные в этих точках и в точках, отвечающих началу и концу отрезка .

с. Для примера построим график функции

на отрезке [-2, 4].

Имеем

Приравнивая нулю у, получим

Приравнивая же нулю , имеем

Следовательно, мы должны построить ординаты точек с абсциссами

кроме того, во всех этих точках мы должны провести касательные ( в точках о абсциссами —1 и 3, и потому касательные параллельны оси абсцисс).

Имеем

Таким образом, имеем следующую таблицу:

в соответствии с которой и строим график нашей функции (рис. 27). Касательные изображены пунктирными линиями.

Рис. 27.

d. Заметим, что если бы мы желали построить весь график функции пункта «с», то вычисления мало бы изменились. Вместо точек с абсциссами —2 и 4 пришлось бы исследовать значения при , и мы получили бы

Последние два равенства показывают, что при неограниченном увеличении угол а наклона касательной к оси абсцисс неограниченно приближается к 90°.