§ 8. Построение графиков разрывных функций

a. Для построения графика разрывной функции или же функции с разрывной первой производной следует весь промежуток, на котором мы строим график, сначала разбить на отдельные отрезки, беря границами делений как раз те значения для которых или терпит разрыв непрерывности.

Когда мы приближаем к концам таких отрезков, надо тщательно следить за тем, что делается с функцией и ее производной.

b. Пример. Построим график функции

Здесь функция терпит разрыв, когда , т. е. при и при При этом, если приближается со стороны значений, меньших и потому

Поэтому, очевидно,

Точно так же найдем

Далее, исследуем наш график с точки зрения макси мумов и минимумов. Имеем

и мы видим, что только при причем тогда

Далее,

Приравнивая нулю, получаем

Это уравнение не имеет вещественных решений. Значит, никаких точек перегиба нет.

Наконец, исследуем, что будет при Имеем

Итак, для построения кривой имеем таблицу

которую для большей отчетливости дополним такой

График функции изображен на рис. 28.

Рис. 28