§ 10. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака второй и высших производных

а. Для решения той же самой задачи, которую мы только что разобрали, можно указать еще другой, довольно удобный признак. Этот признак основан на исследовании знака тех численных значений, которые принимают высшие производные при

Пусть Рассмотрим . Если , то рассматриваем и т. д. до тех пор, пока не дойдем до неравного нулю числа.

Именно: пусть первым неравным нулю числом в последовательности

будет

Примем во внимание графики всех функций . Так как каждая из них, например имеет своей производной производную порядка на единицу большего, и, следовательно, обращающуюся в нуль при то при каждая из этих функций имеет максимум, минимум или точку замедления.

b. Пусть сначала четное и Тогда график функции в рассматриваемой точке обращен выпуклостью вниз (так как ) положительна при то в силу своей непрерывности положительна и при значениях близких к и, значит, при функция имеет минимум, равный нулю .

При значениях близких к имеем

Но тогда таким же путем убедимся, что минимум при будет иметь и функция и функция и т.д., пока наконец не дойдем до (только здесь уже минимум, вообще говоря, нулю не равен). Итак, при функция имеет минимум.

c. Пусть опять четное, но . Тогда, применяя те же самые рассуждения, что и в пункте «b», можно убедиться, что при функция имеет максимум.

d. Наконец, рассматривая случай нечетного и предполагая убедимся, что минимум при будут иметь производные нечетного порядка: и, наконец, причем ввиду вблизи имеем (как для значений так и для значений значит, ) при знака не меняет и потому имеет при точку замедления.

Тот же результат учащиеся найдут, предположив нечетным и

Итак, имеем правило:

Если причем первая не обращающаяся в нуль при производная в последовательности

есть , то

если четное и то функция имеет минимум при

если четное и то функция имеет максимум при

если нечетное, то при имеет точку замедления.

Пример 1. Пусть Имеем

Здесь равна нулю при но

Значит, нечетно и при имеем точку замедления. Пример 2. Пусть Имеем

Здесь равна нулю при . Тогда

четно, причем Значит, при имеем максимум.

Далее,

Здесь четно, причем Значит, при имеем минимум.