§ 2. Проекции

а. Проекцией точки М на ось PQ будем называть точку пересечения с этой осью плоскости, перпендикулярной PQ и проходящей через точку М.

b. Проекцией вектора MN на ось PQ называется такой вектор , лежащий на оси, начало которого есть проекция начала, а конец — проекция конца вектора MN (рис. 91).

c. Так же, как и на плоскости величина проекции не изменится если мы передвинем вектор в новое положение параллельно самому себе или же если переместим параллельно самой себе ось проекций.

Кроме того, очевидно, что

d. Далее, рассмотрим проектирование вендоров с одной оси на другую. Если переместим первую ось вместе с вектором, в ней лежащим, в новое положение, в котором бы эта ось пересекла ось проекций, то величина проекции от этого не изменится (рис. 92).

Рис. 92

Но тогда мы можем применить теоремы, доказанные нами для плоскости (потому что теперь обе оси лежат в одной плоскости), т. е. и для пространства справедливы следующие теоремы:

e. Величины векторов относятся как величины проекций этих векторов на какую-либо ось,

f. При проектировании вектора с одной оси на другую величина проекции равна величине проектируемого вектораь умноженной на косинус угла между осями, в частности, если направление оси одинаково с направлением вектора, то величина проекции вектора равна его длине) умноженной на косинус угла между вектором и осью.

Далее, легко доказывается для пространства теорема, относящаяся к проекции векторной цепи.

Алгебраическая сумма величин проекций отдельных Звеньев цепи равна величине проекции замыкающего вектора (рис. 93).

Рис. 93

Доказательство одинаково с тем, которое было для плоскости, с той лишь разницей, что здесь проектирование точек на ось осуществляется посредством плоскостей, перпендикулярных оси, а не прямых. Это доказательство в виде упражнения рекомендуем проделать самим учащимся.