§ 13. Сходимость бесконечных рядов

а. Только что сформулированный нами признак существования предела мы применим к исследованию весьма важного вопроса о сходимости бесконечных рядов — особого рода сумм вида

содержащих неограниченно большое число слагаемых — членов ряда (образованных по какому-либо общему для всех членов ряда закону).

Примерами бесконечных рядов могут служить выражения вида

b. Члены ряда следует складывать слева направо в том порядке, как они написаны. Если окажется, что сумма все большего и большего числа членов ряда

приближается к определенному конечному пределу S, то есть

то S называется суммою ряда. Ряд, имеющий конечную сумму, называется сходящимся.

Запись того, что S является суммою ряда, производится так:

Примером сходящегося ряда может служить бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

знаменатель которой q по абсолютной величине меньше 1. Сумма первых членов этой прогрессии равна

Но при неограниченном увеличении стремится к нулю, потому что . Поэтому в последней разности предел вычитаемого есть нуль, т. е.

и мы можем, следовательно, написать

c. Может оказаться, что, суммируя все большее и большее число членов ряда, мы будем убеждаться, что их сумма будет неограниченно возрастать. В этом случае ряд называется расходящимся.

Например, расходящимся будет ряд

Действительно, члены этого ряда будут не меньше соответствующих членов такого ряда:

Поэтому, если, суммируя члены второго ряда, мы получим неограниченно растущую сумму, то тем более это будет относиться к первому ряду.

Суммирование членов второго ряда можно производить в следующем порядке:

где сумма членов каждой строки, кроме первой, равна 1/2. А так как строк будет бесконечно много, то ясно, что, складывая члены ряда (2), мы получим неограниченно растущую сумму. Значит, ряд (1) будет расходящимся.

d. Наконец, может оказаться, что, суммируя все большее и большее число членов ряда, мы ни к какому пределу приближаться не будем. В этом случае ряд также назовем расходящимся.

Примером такого ряда может служить ряд

Действительно, обозначая, как всегда, через S сумму первых членов ряда, имеем

откуда видим, что ни к какому пределу стремиться не может.