§ 4. Дифференцирование неявных функций

а. Мы знаем, что часто функция одной или многих переменных бывает задана неявно. Тогда для того, чтобы найти производную или частные производные функции, ее нужно привести к явному виду. Мы знаем также, что для этого нужно решить относительно данной функции то уравнение, которое ее определяет. Но не всякое уравнение легко поддается решению. Многие уравнения, несмотря на огромный прогресс математики за последнее время, мы до сих пор решать не умеем.

Если не удается решить уравление, определяющее функцию, то, казалось бы, вопрос нахождения производной неявной функции также становится неразрешимым.

К счастью, имеется простой и легкий путь для нахождения производных неявных функций без решения уравнений. Мы приведем сейчас этот способ.

b. Пусть имеется уравнение

Решив это уравнение относительно у, получим явную функцию Обозначим ее

Подставим теперь (2) в (1). Получим тождесгво

Например, если

то

Если мы произведем подстановку, то действительно по лучаем тождество

Но мы не будем решать уравнение (1), а только вообразим, что оно решено и что результат подставлен обратно в уравнение (1). Тогда уравнение

можно рассматривать как сложную функцию тождественно равную нулю. Если взять производную этой функции по то получим также тождественно равную нулю производную. Применяя формулу для полной производной и принимая за получим

т. е.

откуда

Пример. Найти проивводную у по х, если

Решать это уравнение относительно у было бы затруднительно, так как оно третьей степени относительно у. Но этого и не нужно делать ввиду того, что у нас имеется формула (7):

с. Пусть теперь у нас имеется уравнение

Можно также вообразить, что уравнение (8) решено относительно , получена функция двух независимых переменных и у и результат подставлен обратно. Тогда уравнение (7) можно рассматривать как тождественно равную нулю сложную функцию двух независимых переменных и у.

Применяем формулу для полной частной производной, принимая х за и и у за

Очевидно, 1, 1; кроме того, ввиду того, что и у являются независимыми переменными.

Поэтому мы получим

Из этих уравнений находим искомые частные производные

Таким же путем мы можем найти частные производные неявной функции любого числа независимых переменных.

d. В пункте второго параграфа этой главы мы нашли уравнение касательной плоскости.

Это уравнение имеет вид

Оно пригодно только для тех случаев, когда уравнение поверхности задано в явном виде. Допустим теперь, что поверхность задана неявным уравнением

Пользуясь формулами (8а), мы можем, подставляя их в (9), представить уравнение касательной плоскости в таком виде;

Сделав очевидное упрощение, будем иметь

e. В различных вопросах математики, механики и физики большое значение имеет прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной плоскости. Эта прямая называется нормалью к поверхности в точке . Напишем ее уравнение.

Из аналитической геометрии известно, что уравнение прямой, проходящей через данную точку, имеет вид

Здесь — проекции направляющего вектора прямой (11). Ввиду того, что за направляющий вектор нормали можно принять направляющий вектор касательной плоскости, мы можем положить

Следовательно, уравнения нормали будут такими:

f. Пр и мер 1. Написать уравнение касательной плоскости в точке М (1; 2; 3) к сфере

Вычисляем частные производные для этой точки!

Подставляя полученные числа в уравнение (10), получим

или

Пример 2. Написать уравнение нормали в той же точке к той же поверхности. Подставляя в уравнение (12) найденные уже числовые значения частных производных, получим