ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Глава 1. ПРЕДЕЛЫ

§ 1. Бесконечно малые

а. Понятие бесконечно малой мы выясним на частных примерах.

Рассмотрим переменную дробь

у которой знаменатель неограниченно увеличивается (например, пусть принимает последовательно значения . Тогда переменная дробь а будет неограниченно уменьшаться, все более и более приближаясь к нулю. Такую переменную а назовем бесконечно малой

Вместо дроби мы могли бы рассматривать отрицательную дробь

отличающуюся от а только знаком. При неограниченном увеличении эта дробь тоже неограниченно уменьшается, но теперь уже не в алгебраическом смысле, а по своей абсолютной величине. Переменную а мы тоже назовем бесконечно малой.

с. Можно также рассматривать и дробь

с условием, что берется знак если четное, и-, если нечетное. Переменная а, также неограниченно уменьшается по своей абсолютной величине; ее мы тоже назовем бесконечно малой.

d. В качестве примеров бесконечно малых приведем еще переменные принимающие такие последовательные значения:

тоже неограниченно уменьшающиеся по своей абсолютной величине.

e. Хорошим примером бесконечно малой может служить также сторона правильного вписанного в круг многоугольника при неограниченном увеличении числа его сторон.

Рис. 1

f. Наконец, возьмем такой пример. Упругая стальная пружина MN закреплена одним концом М, другой же конец N остается свободным (рис. 1). Если мы отклоним конец N от его начального положения, то пружина начнет колебаться, отклоняясь то вправо, то влево от своего начального положения MN, делая при этом, ввиду сопротивления воздуха, все меньшие и меньшие размахи (затухающее колебание). Теоретически такое колебание будет продолжаться бесконечно долго.

Расстояние колеблющегося конца от начального положения MN пружины, которое считается положительным, если пружина отклонена вправо от MN, и отрицательным, если пружина отклонена влево очевидно, и будет величиною бесконечно малой.

g. Основным свойством, характеризующим бесконечно малую, является ее неудержимое стремление к нулю. Никаких границ для такого стремления к нулю быть не должно, и какое бы мы ни задали малое положительное число , мы должны быть уверены в том, что в изменении бесконечно малой а непременно наступит момент, начиная с которого абсолютная величина бесконечно малой будет оставаться меньше е.

Отмечая это характерное свойство бесконечно малой, мы дадим ей такое определение.

Бесконечно малой мы называем такую переменную а, относительно которой мы уверены в следующем:

Какое бы малое положительное число мы ни задали, в изменении а наступит момент, начиная с которого абсолютная величина переменной а будет оставаться меньше .

h. Считаем необходимым особенно подчеркнуть тот факт, что свойство бесконечно малой начиная с некоторого момента численно оставаться меньше должно обнаруживаться при любом в (какое бы малое ни было задано). Именно, если в изменении бесконечно малой а уже наступил момент, начиная с которого остается меньше , то при дальнейшем изменении а наступят также моменты, начиная с которых будет оставаться меньше и других еще более мелких

Например, после того как уже остается меньшее, при дальнейшем изменении а наступит момент, начиная с которого а при дальнейшем изменении а — моменты, начиная с которых и вообще независимо от того, как велико выбрано целое число . Или, например, если а — бесконечно малая, то при ее приближении к нулю последовательно наступят моменты, начиная с которых и т. д.

В приведенном выше примере пункта , т. е. при

имеем