§ 9. Признак максимума и минимума, основанный на исследовании знака первой производной

а. Мы знаем, что если при некотором производная функции обращается в нуль, то при эта функция достигает максимума, минимума или же имеет точку замедления. Часто бывает полезно узнать, какой именно из этих трех случаев имеет место. Вот самый простой признак.

Если при функция достигает максимума, то обращаясь в нуль, меняет знак с на .

Действительно, тогда отделяет интервал возрастания функции от интервала убывания.

Точно так же можно убедиться в верности двух других правил.

Если при функция достигает минимума, то обращаясь в нуль, меняет знак с — на

Если при функция имеет точку замедления, то обращаясь в нуль, знака своего не изменяет.

b. В применении этих правил очень часто исследование знака производной бывает очевидным.

В частности, если (-многочлен, то перед тем, как исследовать знак при и при надо разложить на множители.

Пример. Пусть

Приравнивая у нулю, имеем

Пусть, например, требуется узнать, что именно будет при . Разлагая у на множители, имеем

Мы видим, что при немного меньших 1, будет и, следовательно,

Если же немного больше 1, то и, следовательно,

Таким образом, при производная нашей функции меняет знак с — на т. е. (согласно пункту ) при мы имеем минимум нашей функции.