§ 3. Направленные углы

а. Выше было сказано, что перемещение точки приходится изображать направленным отрезком, т. е. вектором. Подобно этому вращение оси приходится изображать направленным углом.

Пусть даны две пересекающиеся оси L и М. Для простоты обозначим каждую ось одной буквой (рис. 3). Одна из осей является началом вращения, она называется началом угла; другая является концом вращения, она называется концом угла.

Конец, и начало угла называются его сторонами. На рис. 3 сторона L — начало, а М — конец.

Углы будем измерять в радианах. Если угол получен вращением против часовой стрелки, то его величина считается положительной, в противном случае его величина считается отрицательной. Направление угла отмечается (как на рис. 3) стрелкой.

Рис. 3

Указанное расположение сторон может быть получено бесконечным числом вращений, а потому начало и конец дают не один угол, а бесконечное число положительных и отрицательных углов.

b. Величина любого угла, образуемого сторонами L и. , обозначается условно так:

причем слева пишется начало, справа — конец.

Если обозначить через а величину наименьшего положительного угла между данными сторонами, то величина любого угла, образуемого теми же сторонами, может быть получена из формулы

где к — любое целое положительное или отрицательное число, в том числе и нуль, потому что оно обозначает число полных оборотов.

Действительно при получается сам угол

Подставляя вместо к числа получим все другие положительные углы Если мы получим наименьший по абсолютной величине отрицательный угол

На рис. 3 этот угол отмечен пунктирной стрелкой. Подставляя вместо к числа , получим все другие отрицательные углы.

. Если начало угла сделать концом, а конец началом, то все углы изменят внаки на обратные:

Положим тогда

Очевидно, может принимать также все целые значения — положительные, отрицательные и нуль.

d. Мы видели, что задание начала и конца угла не определяет угол однозначно (т. е. определяет не один, а много углов). Однако любая тригонометрическая функция определяется вполне однозначно, например,

Более того, чтобы вполне определить косинус, достаточно задать только стороны, не указывав даже, какая из них является началом и какая концом. Действительно

так что