§ 3. Общее наименьшее кратное

a. Всякое целое, кратное всех данных чисел, называется их общим кратным. Наименьшее положительное общее кратное называется общим наименьшим кратным. Здесь мы будем рассматривать только общие кратные двух положительных чисел.

b. Пусть и, следовательно Пусть М — какое-либо общее кратное чисел а и b. Так как М кратно а, то где - целое. Но М кратно и b. Поэтому

должно быть целым и, следовательно (2, f, § 2), k должно делиться на Поэтому где — целое, причем для М получается формула

Обратно, очевидно, что М, представляемое формулой (1) при любом целом t, будет общим кратным а и b, и, таким образом, формула (1) дает общий вид всех общих кратных чисел а и b.

Наименьшее положительное из этих общих кратных, т. е. общее наименьшее кратное, получаем при . Оно будет

Теперь формулу (1) можно переписать так!

Формулы (3) и (2) приводят к теоремам.

1. Совокупность общих кратных двух чисел совпадает с совокупностью кратных их общего наименьшего кратного.

2. Это общее наименьшее кратное двух чисел равно их произведению, деленному на их общий наибольший делитель.