§ 18. Угол между плоскостями. Условие параллельности. Условие перпендикулярности

а. Угол между двумя плоскостями определяется по косинусу, Вообще углов будет два — один острый, другой — тупой (в частности оба могут быть прямые) При этом тупой угол дополняет острый до 180° так что косинусы обоих углов отличаются только знаком.

Легко видеть, что один этих углов совпадает с углом между направляющими векторами плоскостей. Значит, чтобы найти косинусы обоих углов, которые образуются пересечением плоскостей, надо найти косинус угла между направляющими векторами и затем этому косинусу приписать оба энака.

Рис. 111

Но если

— уравнения плоскостей, то проекции их направляющих векторов будут и поэтому (рис. 111)

Условие параллельности:

Условие перпендикулярности:

b. Например, угол между плоскостями

определится по формуле:

Плоскости

параллельны ввиду того, что

Плоскости

взаимно перпендикулярны ввиду того, что

с. Решим следующую задачу.

Через точку провести плоскость параллельную плоскости

Решение проводим так. Искомая плоскость должна пройти через точку кроме тогог так как она параллельна данной, за ее направляющий вектор можно взять тот же самый вектор что и у данной плоскости, т. е. вектор с проекциями .

Тогда уравнение искомой плоскости напишется такз

Например, уравнение плоскости, проходящей через точку (1; 3; 2) и параллельной плоскости

будет следующее: