§ 4. Сравнения любой степени по простому модулю

a. Пусть — простое. Докажем общие теоремы, относящиеся к сравнению вида

b. Сравнение вида (1) равносильно сравнению степени не выше

Действительно, деля на имеем

где степень не выше . А так как , то , откуда и следует указанная теорема.

c. Если сравнение (1) имеет более чем решений, то все коэффициенты кратны .

Действительно, пусть сравнение (1) имеет, по крайней мере, решение. Обозначая буквами вычеты этих решений, мы можем представить в виде

Действительно, преобразовав раскрытием скобок произведения правой части в многочлены, мы b возьмем равным коэффициенту при разности между и первым многочленом, затем с возьмем равным коэффициенту при разности между и двумя первыми многочленами и т. д.

Полагая в (2) последовательно убеждаемся в том, что всё кратны . Значит, и все кратны (как суммы чисел, кратных ).

d. При простом справедливо сравнение (теорема Вильсона)

Действительно, если , то теорема очевидна. Если же , то рассмотрим сравнение

оно степени не выше и имеет решение, именно решения с вычетами

Следовательно, по теореме с все его коэффициенты кратны ; в чаетности, на делитея и свободный член, равный как раз левой части сравнения (3).

Пример. Имеем