Решения к главе 2

1, а. На ординате точки кривой с абсциссою лежит целых точек указанной области.

b. Указанное равенство следует из где обозначают числа целых точек областей

c. Указанное равенство следует из где обозначают числа целых точек областей

d. Указанное равенство следует из обозначают числа целых точек областей

e. В случае треугольника, не имеющего других целых точек, кроме вершин, теорема тривиальна. К этому же случаю сводится и случай каждого выпуклого многоугольника. А случай невыпуклого многоугольника путем соединения прямолинейным отрезком некоторой пары его вершин можно свести к случаю многоугольника более простого вида.

2. Число целых положительных чисел, не превосходящих равно Каждое из них единственным способом представляется в виде где — целое положительное; при этом данному отвечает чисел такого вида.

3. Докажем необходимость указанных условий. Число значений с условием можно представить в виде а число значений у с условием Из Деля на N и переходя к пределу, при Последнее равенство при рациональном дало бы b)]. Поэтому не могут быть рациональными.

Пусть указанные условия выполнены. Пусть с — натуральное число. Пусть — наименьшие целые числа с условием Очевидно, не равно с при не равном не равно с при у, не равном при этом и -иррациональные. Ввиду имеем Поэтому одно и только одно из чисел равно с.

4.а. Упомянутые разности при равны

Они неотрицательные, их сумма равна 1, их число равно Поэтому по меньшей мере одна из этих разностей не превосходит Но она имеет вид где целое число с условием

Поэтому, обозначая буквой h то из чисел при котором будем иметь Отсюда, обозначая буквами Q и Р частные от деления на получим

откуда и следует упомянутая в вопросе теорема.

b. Полагая и заставляя пробегать значения

рассмотрим ряд, образованный расположенными в неубывающем порядке числами и числом 1. Составляя разности, образованные соседними такими числами, получим разностей. По меньшей мере одна из них не превосходит

Но она имеет вид где — целые числа с условиями не равные нулю одновременно. Полагая и обозначая символами частные от деления на , получим

что и доказывает указанную в вопросе теорему.

5. Имеем

6, а. Имеем

Простое входит в с показателями

При этом

7. Допуская, что число а с указанными свойствами существует, представим его в виде

Согласно b, § 1 должно быть

Далее при любом имеем

Поэтому последнее выражение для h должно полностью совпасть с указанным в вопросе.

8. а. Пусть — целое, интегрированием по частям находим

В частности, при переходя к пределу, имеем

Указанная формула теперь получается без всякого труда.

b. Переписав формулу вопроса а в виде

убеждаемся в справедливости указанной формулы.

c. Применяя результат вопроса b, находим

9. а, а) Имеем (b, § 1)

Здесь правая часть представляет сумму значений функции , распространенную на целые точки с простыми области

Часть этой суммы, отвечающая данным s и и, равна часть, отвечающая данному и, равна

Применяя при результат вопроса а), имеем

Полагая отсюда находим или

у) Имеем (решение вопроса ) и результат вопроса

Далее, при находим (вопрос )

Поэтому

b. Следует из равенства (1), неравенства вопроса и равенства вопроса

Равенство вопроса b при достаточно больших дает

Если для всех пар с условием имело бы место неравенство то было бы

что при достаточно больших m невозможно.

d. Очевидно, достаточно рассматривать лишь случай, когда нецелое.

Полагая при простом и при или при составном, имеем (вопрос b)

где -постоянное. Отсюда при

Имеем (8, b)

где — постоянное. Далее находим

откуда следует, что

где С — сумма абсолютно сходящегося ряда

с. Имеем

где С — постоянное. Отсюда, полагая мы и получим указанное равенство.

f. Полагая и обозначая символом я число простых чисел, не превосходящих я, из равенства вопроса 9, а, у) выводим (С—положительное постоянное число)

что больше s, если выбрано достаточно большим. Отсюда следует, что при находится среди простых чисел, не превосходящих .

g. Пусть - различные простые делители числа а. Находим: а, откуда (вопрос 8, с)

Поэтому (вопросы )

10, а. Следует из d, § 2.

b. Ввиду условие 1, а, § 2 для функции выполнено. Пусть - одна из разложений а на два взаимно простых сомножителя. Имеем

Если условие 2, а, § 2 выполнено для всех произведений, меньших а, то при имеем и равенство (1) дает т. е. условие 2, а, § 2 выполняется и для всех произведений равных а. Но условие 2, а, § 2 выполняется для единственного произведения 11, равного 1. Следовательно, оно выполняется и для всех произведений.

11, а. Пусть для каждого данного делящего а, неопределенное уравнение имеет решений. Поэтому

но когда пробегает все делители числа обратном порядке пробегает те же делители.

Следовательно,

Поэтому (вопрос 10, а) если теорема верна для функции то она верна и для функции . Но теорема верна для функции Значит, она верна всегда

b. Если теорема верна для функции то имеем

Следовательно, теорема верна и для функции Но теорема верна для функции очевидно равной Поэтому она верна всегда.

c. Пусть — каноническое разложение числа а, причем расположены в возрастающем порядке. Для функции имеем

Предполагая для простоты рассуждений, что убеждаемся, что каждый из сомножителей произведения, стоящего справа, меньше сомножители с условием я меньше 1. Поэтому, полагая находим

При очевидно, имеем Поэтому

d. Системы значений удовлетворяющие указанному неравенству, разобьем на совокупностей с номерами . К совокупности с номером а отнесем системы с условием число этих систем есть .

12. При ряд, выражающий , абсолютно сходится. Поэтому

причем при данном положительном число систем с условием равно .

13. а. При произведение абсолютно сходится. Ввиду при имеем

где во второй сумме правой части пробегает лишь числа, превосходящие N. В пределе при левая часть обратится в Р, первая сумма правой части — в вторая — в нуль.

b. Пусть Допустив, что простых чисел, отличных от нет» находим решение вопроса а)

Это неравенство ввиду расходимости гармонического ряда при достаточно больших N невозможно.

c. Допустив, что простых чисел, отличных от нет, находим (вопрос а)

Это равенство ввиду иррациональности невозможно.

14. При бесконечное произведение для вопроса 13, а абсолютно сходится. Поэтому

где пробегает все простые числа.

Дифференцируя, имеем

15, Пусть Применяя теорему b, § 4, имеем

где во второй сумме правой части пробегает лишь числа, большие N. В пределе при мы и получим указаннное тождество.

16, а. Применим с, § 4 к случаю

Тогда, очевидно, Далее обращается в число значений , кратных а, т. е. в

b, а) Правая часть равенства вопроса а выражает сумму значений функции распространенную на целые точки области Часть этой суммы, отвечающая данному и, равна

) Указанное равенство получается почленным вычитанием равенств

c. Пусть определяются условием: , есть наибольшее целое, степень которого делит Тогда равно числу чисел, не превосходящих , кратных

Отсюда получается указанное выражение для .

В частности, ввиду для числа чисел, не превосходящих и не делящихся на квадрат целого, превосходящего 1, имеем

17, а. Указанное равенство получим из с, § 4, если положим

b. Указанное равенство получим из с, § 4, если положим

c. Применяя с, § 4 к случаю

где в первой строке выписаны все делители числа а, имеем

d. Указанное равенство следует из

18. а. Применим теорему вопроса 17, а, заставляя x пробегать числа и беря Тогда

Имеем

Тот же результат можно получить проще. Напишем числа ряда взаимно простые с а, сначала в возрастающем, затем в убывающем порядке. Сумма членов обоих рядов, равноотстоящих от начала, равна а, число членов каждого ряда равно

Имеем

19, а. Применим теорему вопроса 17, а, заставляя пробегать числа и беря Тогда равно числу

чисел, не превосходящих , кратных d, т. е.

b. Имеем

с. Следует из равенства вопроса а.

20. Применим теорему вопроса 17, а, заставляя пробегать числа где и беря Тогда найдем

В пределе при получим указанное тождество.

21, а Применим теорему вопроса 17, b, рассматривая указанные в определении вероятности системы значений беря Тогда и мы получим

Поэтому

b. Имеем

22, а. Элементарные рассуждения показывают, что число целых точек области не считая точки (0, 0), равно Применим теорему вопроса 17, b, рассматривая координаты у целых точек области отличных от точки (0, 0), и полагая Тогда равно числу целых точек области не считая точки (0, 0). Поэтому

b. Рассуждая аналогично предыдущему, получим

23, а. Число делителей 4 числа не делящихся на квадрат целого, превосходящего 1, и имеющих простых делителей, равно при этом Поэтому

b. Пусть а имеет тот же вид, что и в вопросе а. Достаточно рассматривать случай Для указанной суммы имеем два выражения

Если m четное, то при первое выражение а при второе выражение 0. Если нечетное, то при первое выражение а при второе выражение .

c. Доказательство почти такое же, как в с, § 4, но с учетом результата вопроса b.

d. Доказательство почти такое же, как в вопросах 17, а и b.

24. Пусть d пробегает делители числа - число простых делителей числа Согласно сделанному в вопросе указанию, имеем (считаем N достаточно большим)

Далее находим

Наконец, обозначая буквами некоторые постоянные, имеем

25. Всякому делителю числа а с условием а отвечает делитель с условиями При этом Поэтому

26. Числа d, не делящиеся на квадрат целого, превосходящего 1, и удовлетворяющие условию рассмотрим попарно так, чтобы в каждую пару входило некоторое нечетное и четное Будем иметь II

27. Пусть — различные простые числа. Полагая имеем

Между тем, при отсутствии простых чисел, отличных от мы имели бы

28. а. Указанные числа найдутся среди чисел

Но тогда и только тогда, когда (, § 2, гл. I). Поэтому верно утверждение, отмеченное в вопросе, и мы имеем

b, а) Пусть а — каноническое разложение числа а.

Ввиду а функция (а) мультипликативная, причем

Р) Для целого имеем

Поэтому

29. Имеем ( пробегает все простые числа)

30. Имеем