§ 12. Признак существования предела

a. Часто характер изменения функции с приближением аргумента к какому-либо пределу настолько сложен, что может возникнуть сомнение в самом существовании предела.

b. То обстоятельство, что с приближением аргумента к какому-либо пределу функция может и не иметь предела, покажет хотя бы следующий простой пример:

По мере увеличения функция принимает периодически все возможные для нее значения от —1 до и, таким образом, ни к какому определенному пределу не приближается.

c. Укажем здесь один простой признак, который в интересующих нас случаях позволит узнать, стремится ли функция к какому-либо пределу или нет.

Чтобы лучше понять, в чем этот признак состоит, вспомним, как мы в элементарной геометрии подходили к вычислению площади круга. Последнюю мы рассматривали там как общий предел площадей вписанных и описанных правильных многоугольников (получаемых, например, последовательным удвоением числа сторон).

Именно, при беспредельном увеличении числа сторон происходит следующее (рис. 7):

Рис. 7

1. Площадь вписанного многоугольника возрастает.

2. Площадь описанного многоугольника убывает.

3. Разность между обеими площадями стремится к нулю.

Ввиду 1, 2 и 3 мы считаем очевидным, что обе площади стремятся к некоторому общему пределу (который и принимаем за площадь круга).

d. Другой пример возьмем из алгебры. Извлекая по известным правилам , получим

Если рассмотреть два набора чисел и принимающих такие последовательные значения:

(числа суть так называемые приближенные значения с недостатком, а числа — приближенные значения с избытком), то увидим, что:

1) возрастает;

2) убывает;

3) разность стремится к нулю.

Мы опять считаем очевидным, что стремятся к некоторому общему пределу (который и принимаем за ).

e. И вообще, если:

1) переменная возрастает

2) переменная убывает

3) разность стремится к нулю

то считаем очевидным, что переменные стремятся к некоторому вполне определенному общему пределу.

Это утверждение принимаем как аксиому, т. е. как очевидную истину, не требующую доказательства.