§ 14. Простейшие признаки сходимости

a. Для сходящегося ряда

должно выполняться

Если ряд сходится, то, складывая все большее и боль шее количество его членов, мы будем приближаться к его сумме S. Но если — большое число, то - тоже большое число, и, значит, начиная с некоторого момента (какое бы малое мы ни выбрали), не только

но и

будут отличаться от S на величину, меньшую , где — произвольное положительное число. Но тогда начиная с этого момента между собою будут разниться на величину, меньшую то есть

Это и доказывает, что стремится к нулю при неограниченном возрастании .

b. Однако пример ряда

рассмотренный в пункте «с» § 13, показывает, что выполнения условия

еще не достаточно для того, чтобы ряд был сходящимся. У этого ряда

Тем не менее в пункте «с» § 13 мы убедились, что этот ряд расходящийся.

Мы укажем далее такие признаки, которые давали бы полную уверенность в сходимости ряда.

с. Ряд

среди членов которого нет отрицательных, сходится, если его члены не больше соответствующих членов какого-либо сходящегося ряда

Действительно, если при любом то, полагая

(предел существует ввиду сходимости ряда (2)), составим два набора чисел

Мы видим, что:

1. Переменная возрастает.

2. Переменная убывает (потому что

возрастает с возрастанием ).

3. Разность

стремится к нулю (ввиду ).

Поэтому согласно признаку существования предела, указанному в § 12, переменная должна стремиться к некоторому пределу А:

Следовательно, ряд (1) сходящийся.

Например, члены ряда

не превосходят членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

относительно которой известно, что она сходится (пункт § 13). Значит, сходящимся будет и ряд (4).

d. Чем больше членов сходящегося ряда мы сложим, тем ближе подойдем к его сумме S. Обозначая бесконечно малую разность между S и символом мы можем написать

называется остатком ряда. Очевидно, он обозначает сумму всех членов ряда, остающихся после того, как мы отбросим первые членов.

e. Сумму S можно вычислить приближенно с любой степенью точности, если сложить достаточно большое число членов ряда.

Пример. Вычислим сумму ряда

Обозначая члены этого ряда символами имеем

отбрасывая две последние цифры, как не очень надежные, мы получаем следующее приближенное выражение суммы нашего ряда:

f. Ряд

среди членов которого есть отрицательные, будет сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов,

Положим

причем при положительном, а при отрицательном (так что или в зависимости от знака ).

Ряды

не имеют отрицательных членов и очевидно сходятся, так как их члены не превосходят соответствующих элементов ряда (6). Значит, существуют пределы

Но тогда ввиду

т. e. и ряд (5) является сходящимся.

Например, ввиду выясненной выше сходимости ряда

сходящимся будет ряд

g. Нетрудно показать, что при условии

сходящимся будет так называемый знакопеременный ряд

Рассмотрим сумму четного числа первых членов и сумму нечетного числа первых членов «того ряда. Имеем

Мы видим, что возрастает, убывает, а разность между ними стремится к нулю. Значит, стремятся к некоторому общему пределу .

Таким образом, сумма как четного, так и нечетного числа первых членов ряда (8) стремится к S. Следова тельно, ряд (8) сходится.

Пример. Рассмотрим ряд

здесь

следовательно, данный ряд сходится.