§ 8. Свойство непрерывной функции

а. Если значения , которые непрерывная функция принимает на концах отрезка , имеют разные знаки, то в интервале имеется хоть один корень этой функции (т. е. хоть один корень уравнения ).

Рис. 4

Действительно, пусть, например (рис. 4),

Тогда точка А с абсциссой будет ниже, а точка Б с абсциссой - выше оси абсцисс. А так как функция непрерывна, то график ее есть сплошная линия. Эта линия, идя из точки А в точку В, неминуемо пересечет ось абсцисс в некоторой точке, абсцисса которой на нашем чертеже обозначена буквою Ордината этой точки равна нулю, то есть

Например, пусть

Рассматривая интервал (1, 2), имеем

Значения , которые получает наша функция на концах отрезка [1, 2], имеют разные знакиг Поэтому в интервале (1, 2) должен заключаться хоть один корень уравнения

Иными словами, между 1 и 2 должно существовать такое , что