§ 13. Основные формулы для дифференциалов

а. Дифференциал функции получается умножением производной на дифференциал аргумента:

Отсюда имеем следующие формулы:

Вывод последних пяти формул (13)-(17) достигается тем, что после умножения соответствующих производных на используются равенства

b. В частности, последняя формула (17) имеет особенно важное значение. Она показывает, что дифференциал сложной функции выглядит так же, как если бы было аргументом.

c. Заметим, что в сложных случаях (где в выражении функции участвуют сложение, умножение и деление) дифференциал удобнее находить не по выведенным здесь формулам, а находя сначала производную и умножая ее затем на

Формула (17) представляет значительные практические удобства.

Например, применяя формулу (17), получим

d. Из формулы

находим новое выражение производной;

которым очень часто пользуются для обозначения производной.

Например, производную функции

можно обозначать одним из следующих способов]

Этот способ обозначения применяется, когда функция, производную которой мы вычисляем, имеет очень сложное математическое выражение.

е. Ввиду того, что чаще всего приходится пользоваться обозначениями не производных, а дифференциалов, раздел математики, содержащий учение о производных и дифференциалах, а равным образом различные приложения производных и дифференциалов, носит название дифференциального исчисления.

f. По той же причине разыскание производной или дифференциала данной функции называется дифференцированием.