§ 18. Преобразование дифференциалов к новой переменной

a. Весьма часто бывает, что известен дифференциал некоторой функции

и требуется найти дифференциал той же функции, когда аргументом является уже не а некоторая новая переменная t. При этом дается уравнение, связывающее с этой новой переменной.

b. Если зависимость представлена в явной форме

то задача решается просто (пункт b § 13). А именно, если заменим на то функция обратится в сложную функцию переменной t. Внешний вид дифференциала не изменится, он будет

но теперь вместо надо ставить т. е. надо в выражении заменить на а вместо написать так что теперь будет

Пример. Пусть

Имеем

Пусть теперь требуется найти дифференциал нашей функции, считая аргументом не , а новую переменную t, о которой х связано соотношением

Теперь в формуле необходимо заменить его выражением (2). Получим новое выражение дифференциала в следующей форме:

c. Очень важно отметить, что для решения поставленной задачи совершенно не требуется знания самой функции, важно знать только выражение ее дифференциала (считая аргументом ). Это обстоятельство будет весьма важно в дальнейшем.

Пример. Пусть дифференциал некоторой функции у аргумента равен

Найти дифференциал той же самой функции, считая аргументом t, через которое х выражается так:

Имеем

d. Часто зависимость х от t дается в неявной форме.

Пример 1. Пусть

Найти , считая аргументом t, о которым связано уравнением

Здесь даже не нужно выражать через t, так как ввиду (3) имеем прямо (считая аргументом )

и, следовательно, новое выражение для будет таким:

Пример 2. Пусть

причем

Имеем (считая аргументом )

Следовало бы, конечно, подставить сюда выражение через t, предварительно найдя его из (5), и подставить то же выражение в

Но мы сделаем это пока только частично, написав в вы ражении только t вместо . Получим

Заменим теперь x на t. Из (5) имеем

и потому новое выражение для дифференциала будет таким

Весьма важно отметить, что новое выражение дифференциала может получиться более простым, чем старое (см. разобранные примеры).