Глава 5. СРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ

§ 1. Общие теоремы

a. Из сравнений степени в дальнейшем будут рассматриваться лишь простейшие, а именно — двучленные сравнения:

Если сравнение (1) имеет решения, то а называется вычетом степени по модулю . В противном случае а называется невычетом степени по модулю . В частности, при вычеты или невычеты называются квадратичными, при - кубическими, при - различными.

b. В этой главе мы подробно рассмотрим случай и в первую очередь рассмотрим двучленные сравнения второй степени по простому нечетному модулю :

c. Если а — квадратичный вычет по модулю , то сравнение (2) имеет два решения.

Действительно, если а — квадратичный вычет, то сравнение (2) имеет, по крайней мере, одно решение Но тогда, ввиду то же сравнение имеет и второе решение Это второе решение отлично от первого, так как из мы имели бы , что невозможно, ввиду

Указанными двумя решениями и исчерпываются все. решения сравнения (2), так как последнее, будучи сравнением второй степени, более двух решений иметь не может (с, § 4, гл. IV).

d. Приведенная система вычетов по модулю состоит из квадратичных вычетов, сравнимых с числами

и квадратичных невычетов.

Действительно, среди вычетов приведенной системы по модулю квадратичными вычетами являются те и и только те, которые сравнимы с квадратами чисел (приведенная система вычетов)

т. е. с числами (3). При этом числа (3) по модулю не

сравнимы, так как из , следовало бы, что сравнению , вопреки с, среди чисел (4) удовлетворяют четыре: