§ 9. Предел функции, зависящей от нескольких переменных

a. Вопрос о пределе функции можно поставить и для функции нескольких переменных.

Если при одновременном приближении и, и к некоторым пределам а, b соответственно функция стремится к пределу k, то это записываем так:

Мы рассмотрим лишь случаи, когда есть сумка произведение или отношение переменных u, v.

Во всех этих случаях окажется, что

т. е. предел функции находится простой заменой в выражении функции переменных и, v пределами а, b, к которым они стремятся.

Этими случаями мы сейчас и займемся.

b. Предел суммы конечного числа слагаемых равен сумме пределов этих слагаемых:

Действительно, если и, v стремятся к пределам а, b, то

где — бесконечно малые.

Но тогда

Второе слагаемое последней суммы, как сумма конечного числа бесконечно малых, будет само бесконечно малым. Следовательно, u + v стремится к сумме

т. е. к сумме пределов переменных.

Например,

c. Предел произведения конечного числа сомножителей равен произведению пределов этих сомножителей:

Как и раньше, имеем

где — бесконечно малые. Следовательно,

Но второе слагаемое последней суммы, как сумма трех бесконечно малых, будет само бесконечно малым. Следовательно, стремится к произведению

т. е. к произведению пределов переменных.

Например,

d. Предел отношения двух переменных равен отношению пределов этих переменных, если только предел знаменателя не равен нулю.

Это значит, что при

Опять имеем

где — бесконечно малые.

Рассмотрим разность

Мы видим, что числитель последней дроби, как сумма двух бесконечно малых тоже бесконечно мал, знаменатель же стремится к пределу по предположению не равному нулю. Значит, вся дробь (см. пункт § 4) бесконечно мала. Вместе с тем бесконечно мала и разность

т. е. действительно имеет место равенство (1).

Например,

е. Доказанные теоремы, будучи применены к случаю, когда переменные и, суть функции одного аргумента покажут, что сумма, произведение и отношение (со знаменателем, не обращающимся в нуль) непрерывных функций будут тоже функциями непрерывными. Ограничиваясь для простоты случаем двух непрерывных функций мы видим, что:

1. Каждому значению отвечают определенные конечные значения функций и, следовательно, определенные конечные значения функций

тем самым функции (2) удовлетворяют первому условию непрерывности.

2. Имеем

откуда видим, что функции (2) удовлетворяют и второму условию непрерывности.

Это позволяет нам расширить правило вычисления пределов непрерывных функций на случай, когда функция есть сумма, произведение или отношение (со знаменателем, не стремящимся к нулю) непрерывных функций. Например,