§ 21. Примеры на составление полярных уравнений кривых

а. В качестве примера выведем полярные уравнения эллипса, гиперболы или параболы. Эти кривые имеют общее полярное уравнение, которое получим, если будем исходить из общего свойства этих кривых по отношению к фокусу и директрисе. Саму кривую располагаем, как показано на рис. 81, помещая директрису справа от кривой.

(Для эллипса А будет правой вершиной, для гиперболы — вершиной левой ветви, так что для гиперболы рассматриваем только левую ветвь; наконец, параболу для вывода полярного уравнения приходится повернуть на ) Полюс О берем в фокусе F, полярную ось направляем из полюса F к вершине кривой.

Рис. 81

b. Обозначим эксцентриситет кривой буквой и буквой — ординату, восставленную из фокуса. Для любой точки имеем

В частности, это верно и для точки S, т. е.

Далее, имеем после чего уравнение (1) дает

Это и есть искомое полярное уравнение.

c. Предлагается самим доказать для эллипса и гиперболы равенство

(рассматривая как ординату, восставленную из фокуса).