§ 7. Геометрическое истолкование непрерывности

а. Нетрудно выяснить, что графиком непрерывной функции будет и непрерывная (сплошная) линия.

1. Действительно, согласнэ первому условию непрерывности все ординаты графика будут конечными.

2. Согласно второму условию должно быть

Положим ( читается «эта») (на рис. 3 ). Условие (1) перепишется так:

Известно, что разность между переменной и ее пределом есть бесконечно малая. Поэтому равенство (2) можно прочесть так: если — бесконечно малая, то и — бесконечно малая.

Рис. 3

На рис. 3 разности изображаются отрезками

они суть не что иное, как те количества, которые надо придать абсциссе и ординате точки М, чтобы из них получить абсциссу и ординату точки т. Эти разности обозначается особыми символами

и называются: первая — приращением вторая — приращением у.

В этих новых обозначениях равенство (2) можно прочесть так:

(Это можно записать и в виде )

Таким образом, второе условие непрерывности можно читать так:

Бесконечно малому приращению аргумента отвечает и бесконечно малое приращение функции.

b. Но если одновременно бесконечно малы, то бесконечно мала и хорда

т. е. точка бесконечно близка к точке М.

Мы приближали со стороны значений Тот же результат мы получим и в том случае, если будем приближать со стороны значений отрицательное; тоже отрицательное). В этом последнем случае мы найдем, что и слева от точки М имеется точка бесконечно близкая к точке М. Итак, каждая точка М графика непрерывной функции имеет справа и слева от себя сколько угодно близкие точки того же графика. Отсюда и видно, что график непрерывной функции может быть только сплошной линией.