S 9. Упражнения и контрольные вопросы

1а. Что такое ось?

lb. Дана прямая MN

Как отметить, что за положительное выбрано направление справа налево?

2а. Что такое вектор?

2Ь. Какая разница между длиной вектора и его вели чиной?

2с. Как обозначается длина и как обозначается величина вектора?

3а. Имеется ось MN и на ней несколько векторов (рис. 18). Какие из этих векторовимеют положительные величины и какие отрицательные?

Рис. 18

3Ь. Какая длина и какая величина у тех векторов, которые изображены на рис. 18, если за единицу принят сантиметр?

4а. Какие величины в природе изображаются векторами?

4Ь. Можно ли сказать, что объем — векторная величина?

4с. Является ли работа векторной величиной?

4d. Является ли вес величиной векторной; если да, то куда эта величина направлена?

5а. При получении какого рода движения возникло понятие о направленном угле?

5b. Что называется началом угла и что концом?

5с. Какие углы считаются положительными и какие отрицательными?

6а. Определяется ли угол вполне своим началом и концом? Если нет, то почему? Ответ: нет.

6b. Если наименьший положительный острый угол, определяемый двумя сторонами угла равен то как записать общий вид всех других углов, определяющихся теми же сторонами?

7а. Определяются ли тригонометрические функции если заданы стороны угла с указанием, какая сторона является началом и какая концом, но указано направление угла? Если да, то почему?

7b. Какая тригонометрическая функция вполне определена, если заданы только стороны угла без указания, какая сторона является началом и какая концом?

8а. Что называется проекцией точки на ось?

8b. Даны ось PQ и на ней точка А

Найдите проекцию точки А на ось

9а. Что называется проекцией вектора на ось?

9b. Даны ось PQ и вектор АВ (рис. 19). Какой вектор является проекцией вектора АВ на ось

Дапы ось PQ и вектор CD на ней (см. рис. 19). Какой вектор является проекцией вектора CD на ось

Рис. 19

10а Даны ось PQ и несколько векторов (рис. 20). У каких векторов величины проекций положительны и у каких отрицательны?

10b. Какую величину имеет проекция вектора на ось, если сам вектор перпендикулярен этой оси?

11а. Может ли случиться, что длина проекции вектора на некоторую ось больше длины самого вектора?

1lb. Может ли случиться, что длина проекции век то на некоторую ось раина длине самого вектора?

12. Вычислите величину проекции вектора на ось тххг если его величина и угол между осью вектора и осью проекций равен (рис. 21).

Рис. 20

Ответ:

13а. Что называется векторной цепью?

13b. Какие бывают векторные цепи?

14а. В чем состоит теорема Шаля?

14b. Ртуть в термометре поднялась от 0° до 15°, затем поднялась на далее она спустилась на 39°, наконец поднялась еще на 17°. Можно ли сказать, что совокупность всех перемещений ртути образует векторную цепь?

На какой высоте будет находиться уровень ртути после всех этих перемещений? Ответ: да; 13°.

14с. Паровоз маневрирует. Выходя от станции, он прошел вправо 5/2 км, затем сделал влево 4 км, потом влево 1/2 км, далее вправо 2 км, наконец вправо 1 км. Если перемещение вправо считать положительным, а влево отрицательным, то каково окончательное перемещение относительно станции? Ответ: 1 км.

Рис. 21

15а. Стрелка гальванометра отклонилась от нуля на 41° против часовой стрелки, потом на 22° по часовой стрелке, затем на 13° по часовой стрелке, наконец отклонилась на 14° против часовой стрелки. Является ли совокупность всех этих поворотов цепью углов? Какой угол составляет окончательное положение стрелки с начальным? Ответ: да; 20°.

15b. На левую чашку весов брошен груз (рис. 22). Стрелка весов от удара отклонилась против часовой стрелки от нулевого положения на 16°, затем весы начали колебаться. После первого отклонения последовало отклонение по часовой стрелке на 1/3 от 16°, далее на 1/9 от 16° против часовой стрелки t потом на 1/27 от 16° по часовой стрелке и т. д. Теоретически говоря, эти затухающие колебания будут продолжаться вечно, но стрелка будет стремиться к некоторому предельному положению. Какой угол с начальным положением составляет это предельное положение? Ответ: 12°.

Рис. 22

16а. Что такое замыкающий вектор?

16b. Какое значение имеет для механики понятие о замыкающем векторе?

17а. Векторная цепь состоит из двух векторов, длина каждого из которых равна а. Эти векторы наклонены друг к другу под углом 60° (рис. 23). Постройте замыкающий вектор. Какова его длина? Ответ: а.

17b. Векторная депь состоит из пяти векторов, равных а, причем каждый из них наклоней к следующему под углом 120°. Цепь расположена так, как указано на рис. 24. Какова длина замыкающего вектора? Ответах а.

18а. Вычислить длину проекции замыкающего вектора на ось цепи:

1. Вектор равен а и наклонен к оси под углом 45°,

2. Вектор равен 2а и наклонен к оси под углом 315°,

3. Вектор равен За и наклонен к оси под углом 0°

4. Вектор равен наклонен к оси под углом 90°.

5. Вектор равен а и наклонен к оси под углом 135°,

6. Вектор равен 2а и наклонен к оси под углом

Ответ: За.

Указание. Когда не упоминается ось вектора, нужно считать, что его ось имеет то же найравлениеа что и сам вектор.

Рис. 23

Рис. 24

18b. Вычислить длину проекций замыкающего вектора на ось цепи:

1. Вектор равен а, его наклон к оси равен 60°.

2. Вектор равен о его наклон к оси равеп 300°.

3. Вектор равен 6а, его наклон к оси равен 30°.

4. Вектор равен 6а, его наклон к оси равен 150°.

5. Вектор равен а, его наклон к оси равен 180°.

Ответ: 0.

18с. Объяснить, почему в предыдущей задаче получилось, что сумма проекций всех векторов цепи на ось оказалась равной нулю.

19а. Замкнутой векторной цепью называется такая цеиь, где конец последнего вектора совпадает с началом первого. Чему равен замыкающий вектор такой цепи?

19b. Чему равна сумма проекций векторов замкнутой цепи на любую ось?

20а. Даны две взаимно перпендикулярные оси расположенные, как указано на рис. 25. Вектор имее? длину и наклонен к оси под углом 135°. Вычислить его проекции на оси. Ответ:

20b. Длина вектора а наклон его к оси равен 240°. Вычислить его проекции на оси и уху. Ответ:

21а. Вычислить длину вектора и его наклон к осям, если его проекции Ответ:

21b. Вычислить длину вектора и наклон к осям, если его проекции Ответ: 225°.

22а. Даны два вектора своими проекциями на две взаимно перпендикулярные оси:

проекции первого вектора

проекции второго вектора

Вычислить косинус угла между этими векторами. Ответ: 60°.

22b. То же, что и в задаче 22а, но векторы имеют проекции Ответ: .

Рис. 25

23а. Если вектор выражает силу, а вектор — ее перемещение, то доказать, что произведение этих векторов выражает работу.

23b. Вычислить работу силы, проекции которой на оси если эта сила сделала перемещение, проекции которого Ответ: работа равна 40.

24. Даны два вектора, проекции на оси у первого равны и проекции на оси у второго равны Вычислить тангенс угла между этими векторами. Ответ:

25а. Будут ли секторы параллельпы, если их проекции на оси

25b. Будут ли векторы перпендикулярны, если их проекции

Ответ: да.

26а. Дан вектор с проекциями и дана только одна проекция второго вектора Найти вторую проекцию, если известно, что векторы параллельны. Ответ:

26b. То же если векторы перпендикулярны» Ответ: